スペクトル定理（射影値測度版）

定理 5.5（「スペクトル定理と関数計算」§5）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を Hilbert 空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とする。このとき $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ 上の射影値測度 $E_A$ がただ一つ存在して

A=\int_{\mathbb{R}}\lambda\,\mathrm{d}E_A(\lambda),\qquad D(A)=\Bigl\{\psi\in\mathcal{H}:\int_{\mathbb{R}}\lambda^2\,\mathrm{d}\langle\psi,E_A(\lambda)\psi\rangle<\infty\Bigr\}

が成り立つ。 $E_A$ を $A$ のスペクトル測度という。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 33 件、定義なども含めて 39 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ケーリー変換✓補題 5.1・スペクトル定理と関数計算
ユニタリ作用素のスペクトル定理✓定理 5.3・スペクトル定理と関数計算
- Fejér–Riesz の定理✓定理 4.1・Toeplitz 作用素と Szegő の極限定理
- Stone–Weierstrass の定理（複素数値）✓定理 4.7・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
  - Stone–Weierstrass の定理（実数値）✓定理 4.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
    絶対値関数の多項式による一様近似✓補題 4.1・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
- Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
  - 開集合は μ*-可測✓補題 4.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    Carathéodory の定理（外測度から測度へ）✓定理 3.2・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - コンパクト集合の測度✓補題 4.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
  - 積分との一致✓補題 4.5・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    コンパクト集合の測度✓補題 4.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
- 単位円上の測度は連続関数の積分で決まる✓補題 5.2・スペクトル定理と関数計算
  - 正則性の自動成立✓定理 5.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理（上で展開済み）
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理（上で展開済み）
- リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎
  - 射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎
    平行四辺形則と分極恒等式✓命題 2.3・Hilbert 空間の基礎
    最近点の変分的特徴づけ✓補題 3.3・Hilbert 空間の基礎
    命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
- 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算
  - 射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算
スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算
- 非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
- 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 9 件

Dirac 型作用素の熱作用素✓定理 7.1・熱核の漸近展開
掛け算作用素の関数計算✓補題 2.6・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
結合スペクトル測度と同時対角化✓定理 7.3・スペクトル定理と関数計算
質量ギャップと指数的クラスター性の同値✓定理 3.4・Yang–Mills 理論と質量ギャップ I
反線形閉作用素の極分解✓補題 2.1・冨田–竹崎の定理の証明
ユニタリ共役とスペクトル測度✓補題 2.2・冨田–竹崎の定理の証明
転送行列の再構成（原論文 §2.3）✓定理 7.5・Osterwalder–Seiler (1978) 第 1 部
転送行列のスペクトルギャップ✓系 4.12・Osterwalder–Seiler『Gauge field theories on a lattice』(1978) 第 2 部
2 点関数のスペクトル表示✓定理 5.3・格子 QCD

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閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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関連するノック 1 問

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