スペクトル積分の基本定理

定理 4.3（「スペクトル定理と関数計算」§4）・ ✓公理まで証明済み

$E$ を $(X,\mathcal{A})$ 上の射影値測度、 $f:X\to\mathbb{C}$ を可測関数とする。 $I(f)$ を定義 4.2 のとおり定めると次が成り立つ。

$D(I(f))=D_f$ は $\mathcal{H}$ で稠密であり、 $\|I(f)\psi\|^2=\int_X|f|^2\,\mathrm{d}\mu_\psi$ （ $\psi\in D_f$ ）。
$I(f)^*=I(\bar f)$ 。とくに $I(f)$ は閉作用素であり、 $f$ が実数値なら $I(f)$ は自己共役である。
$g\in\mathcal{B}_b(X)$ ならば $I(f)I(g)\subset I(fg)$ かつ $I(g)I(f)\subset I(gf)$ であり、 $D(I(f)I(g))=D_{fg}$ である。
$f$ が $\mathcal{B}_b(X)$ に属するなら、この $I(f)$ は 4.1 節のものと一致する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 3 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算
- 射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算

これを使っている定理証明で参照している 16 件

超電荷の行列表示✓命題 2.2・超対称量子力学と Witten 指数
自己共役作用素の形式✓補題 2.2・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
掛け算作用素の関数計算✓補題 2.6・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
Markov 的な半群と掛け算作用素の形式和✓命題 3.5・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
スペクトル定理（射影値測度版）✓定理 5.5・スペクトル定理と関数計算
スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算
スペクトル定理（掛け算作用素版）✓定理 5.7・スペクトル定理と関数計算
有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算
閉作用素の極分解✓定理 9.2・ベクトル値解析と関数計算
帯上の解析関数✓補題 6.2・状態の凸分解
ユニタリ共役とスペクトル測度✓補題 2.2・冨田–竹崎の定理の証明
解のベクトルはレゾルベントで書ける✓命題 4.2・冨田–竹崎の定理の証明
竹崎の一意性定理（巡回分離ベクトルの場合）✓定理 8.3・冨田–竹崎の定理の証明
スペクトル測度と直交多項式✓命題 2.3・Jacobi 行列とモーメント問題
転送行列の再構成（原論文 §2.3）✓定理 7.5・Osterwalder–Seiler (1978) 第 1 部
解析ベクトル上の指数級数✓補題 2.2・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態

スペクトル積分の基本定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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