数学 › 関数解析と作用素論 › 形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式

自己共役作用素の形式

補題 2.2（「形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式」§2）・ ✓公理まで証明済み

$A\ge-\alpha$ を自己共役作用素、 $a$ をその形式とする。

$\mu_\psi((-\infty,-\alpha))=0$ であり、 $Q(A)=\{\psi:\int|\lambda|\,d\mu_\psi<\infty\}$ 、 $a[\psi]=\int\lambda\,d\mu_\psi(\lambda)$ 。 $Q(A)$ の外では $\int\lambda\,d\mu_\psi=+\infty$ で、 $a[\psi]=+\infty$ の規約と合う。
$D(A)\subset Q(A)$ で、 $\varphi\in Q(A)$ 、 $\psi\in D(A)$ について $a(\varphi,\psi)=\langle\varphi,A\psi\rangle$ 。
$a$ に対応する作用素は $A$ 自身である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 7 件、定義なども含めて 9 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算
- 射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算
スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算
- 非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
- 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
自己共役作用素の極大性✓命題 3.4・対称作用素と自己共役拡大
- 共役作用素は閉✓定理 5.4・非有界作用素
  - 共役のグラフ✓補題 5.3・非有界作用素
    共役作用素定義 5.1・非有界作用素
- 可閉性の判定✓命題 4.6・非有界作用素

これを使っている定理証明で参照している 6 件

掛け算作用素の関数計算✓補題 2.6・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
形式和の基本性質✓命題 3.2・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
Markov 的な半群と掛け算作用素の形式和✓命題 3.5・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
Trotter–加藤の積公式✓定理 5.2・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
一様に下に有界な作用素の半群の極限✓定理 6.1・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
切断の除去による有限体積ハミルトニアンの構成✓定理 4.4・P(φ)₂ 模型の構成