数学 › 関数解析と作用素論 › 形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式

一様に下に有界な作用素の半群の極限

定理 6.1（「形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式」§6） ・ ✓公理まで証明済み

HnH_n を H\mathcal{H} 上の自己共役作用素とし、nn によらない c≥0c\ge0 について Hn≥−cH_n\ge-c とする。次の 2 条件は同値である。

  1. すべての t>0t>0 と ψ∈H\psi\in\mathcal{H} について e−tHnψe^{-tH_n}\psi が収束する。
  2. ある λ0>c\lambda_0>c について、すべての ψ\psi で (Hn+λ0)−1ψ(H_n+\lambda_0)^{-1}\psi が収束する。

このとき、閉部分空間 K\mathcal{K} と K\mathcal{K} 上の自己共役作用素 H≥−cH\ge-c がただ一つあって、PP を K\mathcal{K} への射影とすると、すべての λ>c\lambda>c と t>0t>0 について

(Hn+λ)−1→(H+λ)−1P,e−tHn→e−tHP(強収束)(H_n+\lambda)^{-1}\to(H+\lambda)^{-1}P,\qquad e^{-tH_n}\to e^{-tH}P\qquad(\text{強収束})

となる。K=H\mathcal{K}=\mathcal{H} であるための必要十分条件は、極限 T(t)=s-limne−tHnT(t)=\mathrm{s\text{-}lim}_ne^{-tH_n} が t↓0t\downarrow0 で強収束の意味で 11 に近づくことである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 88 件、定義なども含めて 96 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 2 件