射影値測度の基本性質

$E$ を $(X,\mathcal{A})$ 上の射影値測度とする。

1. 任意の $B,C\in\mathcal{A}$ について $E(B)E(C)=E(B\cap C)$。とくにスペクトル射影は互いに可換である。
2. 各 $\psi\in\mathcal{H}$ について $\mu_\psi(B):=\langle\psi,E(B)\psi\rangle=\|E(B)\psi\|^2$ は全質量 $\|\psi\|^2$ の有限正測度である。
3. 各 $\varphi,\psi\in\mathcal{H}$ について $\mu_{\varphi,\psi}(B):=\langle\varphi,E(B)\psi\rangle$ は複素測度であり、偏極恒等式 $\mu_{\varphi,\psi}=\frac14\sum_{k=0}^{3}i^{-k}\mu_{\varphi+i^k\psi}$ と、全変動の評価 $|\mu_{\varphi,\psi}|(B)\le\mu_\varphi(B)^{1/2}\mu_\psi(B)^{1/2}$ が成り立つ。