数学 › スペクトル・散乱理論 › 強時間作用素の存在有料章

スペクトル密度の正則性

定理 3.1（「強時間作用素の存在」§3） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 139 件、定義なども含めて 160 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 9 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 基本恒等式✓補題 5.1・時間作用素と Weyl 関係
• L¹ での基本性質✓命題 2.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換

  • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
  • Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

    • 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
    • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
  • Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

    • Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
    • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
  • 回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標

    • 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質 この先をたどる →
    • 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質 この先をたどる →
    • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
  • 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
    • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
• 反転公式✓定理 3.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換

  • Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
  • Gauss 関数の Fourier 変換✓命題 3.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換

    • L¹ での基本性質✓命題 2.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換（上で展開済み）
    • ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数 この先をたどる →
  • Gauss 核による近似✓補題 3.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換

    • 平行移動の連続性✓補題 2.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換 この先をたどる →
• Jordan 分解✓系 3.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

  • Hahn 分解✓定理 3.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

    • 正の部分集合の存在✓補題 3.1・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
• 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理

  • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
• 導関数が消える測度✓補題 2.1・強時間作用素の存在

  • 滑らかな山型関数と軟化子✓補題 2.1・Schwartz 空間と緩増加超関数
  • 滑らかな切り落としと 1 の分割✓補題 2.3・Schwartz 空間と緩増加超関数

    • 軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数 この先をたどる →
  • 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理 この先をたどる →
• 射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算
• 符号付き測度の Radon–Nikodym✓系 4.4・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

  • Radon–Nikodym の定理✓定理 4.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理 この先をたどる →
• 微積分学の基本定理（ルベーグ版）✓定理 6.9・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

  • 絶対連続性の ε-δ 表現✓命題 2.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理 この先をたどる →
  • 不定積分の微分✓系 5.4・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理 この先をたどる →
  • Radon–Nikodym の定理✓定理 4.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理 この先をたどる →
  • 全変動の性質✓命題 6.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• 強時間作用素の存在の分類✓定理 5.1・強時間作用素の存在