数学 › 解析学（実解析） › 符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

符号付き測度の Radon–Nikodym

系 4.4（「符号付き測度と Radon–Nikodym の定理」§4）・ ✓公理まで証明済み

$\mu$ を $\sigma$ -有限測度、 $\nu$ を有限符号付き測度で、 $\mu(E)=0\Rightarrow\nu(E)=0$ とする。このとき $f\in L^1(\mu)$ が存在し、 $\nu(E)=\int_Ef\,d\mu$ （ $E\in\mathcal{M}$ ）となる。 $f$ は $\mu$ -a.e. で一意である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 27 件、定義なども含めて 32 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Radon–Nikodym の定理✓定理 4.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
- Lebesgue 分解✓定理 4.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
  - 有限測度の Lebesgue 分解と密度（von Neumann の議論）✓補題 4.1・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
    ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
    $L^2$ はヒルベルト空間✓定理 6.2・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
    リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

一般化固有関数の存在（Schnol–Berezanskii 型）✓補題 8.1・Harper 模型とほぼ Mathieu 作用素

符号付き測度の Radon–Nikodym

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件