$L^2$ はヒルベルト空間

定理 6.2（「L^p 空間と関数解析への導入」§6）・ ✓公理まで証明済み

$(X,\mathcal{M},\mu)$ を測度空間とする。 $f,g \in L^2(\mu)$ に対して

\langle f, g\rangle := \int_X f \, \bar{g} \, d\mu

と定めると、この積分は絶対収束して有限の値をとり、 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ は $L^2(\mu)$ 上の内積である。さらに $\sqrt{\langle f,f\rangle} = \|f\|_2$ であり、 $L^2(\mu)$ はこの内積に関するヒルベルト空間である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 6 件、定義なども含めて 7 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入
- 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
- チェビシェフの不等式と正定値性✓補題 3.3・L^p 空間と関数解析への導入（上で展開済み）
- ヤングの不等式✓補題 4.1・L^p 空間と関数解析への導入
チェビシェフの不等式と正定値性✓補題 3.3・L^p 空間と関数解析への導入
- 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
リース–フィッシャーの定理✓定理 5.3・L^p 空間と関数解析への導入
- 絶対収束による完備性の判定✓補題 5.2・L^p 空間と関数解析への導入
- ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入
  - 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入（上で展開済み）
- 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入

これを使っている定理証明で参照している 1 件

有限測度の Lebesgue 分解と密度（von Neumann の議論）✓補題 4.1・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

L2L^2L2 はヒルベルト空間

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

関連するノック 1 問

$L^2$ はヒルベルト空間

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件