強時間作用素の存在：スペクトル密度の正則性と多重度の下半連続性

0. この記事の要点

量子力学では、位置・運動量・エネルギーは観測量（作用素）ですが、時間は実験室の時計で読む外部のパラメータとして扱われます。それでも実験では、粒子が検出器に着く時刻、障壁をくぐり抜けるのにかかる時間、励起状態が崩壊するまでの時間など、「時間の値」が測られています。そこで、エネルギー（ハミルトニアン $H$）と正準共役な、つまり時間発展に合わせて目盛りが一様に進む「時計の観測量」$T$ を作れるか、という問いが生まれます。これが時間作用素の問題です。

厳密な形の時計（自己共役な $T$）は、エネルギーが下に有界な系では作れないことが Pauli の時代から知られています。交換関係の要求を緩めると作れるようになり、緩め方に応じて何段階かの時間作用素が定義されます。その中で最も強い強時間作用素は、作れれば物理的な帰結がはっきりしています。ハミルトニアンには束縛状態（固有値）が無く、その定義域の状態が元のまま残る確率は、少なくとも $1/t^2$ の速さで減っていきます。では、どんなハミルトニアンなら強時間作用素が作れるのでしょうか。

この記事はこの問いに完全な答えを与えます。答えは、エネルギーの各値に独立な状態が何個乗っているかを表す関数（多重度関数）が、近づいた先で値が下に落ちない関数（下半連続関数）にとれるかどうか、という形をしています。結果そのものは 1980 年代の交換関係の表現論の研究（Schmüdgen、Dorfmeister–Dorfmeister）で得られていたもので、この記事はそれを時間作用素と弱 Weyl 関係の言葉で、短く自己完結した証明として述べ直します。要点は次のとおりです。

• 密度の正則性（宮本・新井の結果の形）: $T$ が $H$ の強時間作用素で $\psi\in D(T)$ なら、スペクトル測度 $\mu_\psi$ は密度 $\rho_\psi$ を持ち、$\rho_\psi$ は絶対連続で $\pm\infty$ で $0$ になり、$\rho_\psi'=2\,\mathrm{Im}\,(\mathrm{d}\mu_{\psi,T\psi}/\mathrm{d}\lambda)$ を満たします。評価 $\|\rho_\psi'\|_{L^1}\le2\|\psi\|\|T\psi\|$、$\|\rho_\psi\|_\infty\le\|\psi\|\|T\psi\|$ が成り立ちます。
• 証明は、時間作用素の章の基本恒等式を Fourier 変換で読み直し、「導関数が有限測度の超関数は有界変動関数」という 1 次元の事実を使うだけです。
• 連続な密度から下半連続な多重度へ: 稠密な部分空間のベクトルがすべて連続な密度を持てば、相互スペクトル密度の Gram 行列が連続になり、その階数の上限として多重度関数が下半連続関数と a.e. で一致します。
• 分類定理（Schmüdgen、Dorfmeister–Dorfmeister）: 可分な空間で、$H$ が強時間作用素を持つ $\iff$ $H$ は純絶対連続で多重度関数が下半連続関数と a.e. で一致する $\iff$ Hahn–Hellinger 分解の集合 $E_k$ がすべて開集合と零集合を除いて一致する。ここでは弱 Weyl 関係の設定での短い証明を与えます。
• 自由ラプラシアンは強時間作用素を持ち、固有値を持つハミルトニアンは持ちません。スペクトルが有界でも、端点が集積していても、多重度が開集合で記述できれば強時間作用素は存在します。

1. 動機

時間作用素の章 では、強時間作用素について 2 つの方向の結果を示しました。必要条件の側は宮本の定理（定理 5.3［時間作用素と Weyl 関係］）で、強時間作用素があれば $H$ は純絶対連続です。十分条件の側は構成（命題 5.4［時間作用素と Weyl 関係］）で、$H$ が開区間の上の掛け算作用素の直和なら、各区間で $i\,\mathrm{d}/\mathrm{d}\lambda$ を取れば強時間作用素になります。

この 2 つの間には隙間があります。純絶対連続な作用素はすべて、Hahn–Hellinger の定理（定理 7.2［スペクトルの多重度］）によって可測集合の減少列 $E_k$ の上の掛け算作用素の直和 $\bigoplus_k\lambda|_{L^2(E_k)}$ に書けますが、$E_k$ が開区間の和になるとは限りません。$E_k$ が一般の可測集合のとき、強時間作用素はあるのでしょうか。

答えは「$E_k$ が零集合を除いて開集合になることが必要十分」です。必要性の鍵は、宮本の定理の証明をもう一段精密にすることにあります。宮本の定理は「スペクトル測度が $L^2$ の密度を持つ」ことしか言いませんが、実は密度は絶対連続、とくに連続になります。連続な密度からは、多重度関数が開集合の情報だけで決まることが出ます。この分類は Schmüdgen（1983）と Dorfmeister–Dorfmeister（1984）による Heisenberg の交換関係の表現の研究に遡ります（正確な範囲は 注意 5.2）。本章では弱 Weyl 関係と多重度の言葉で、短く自己完結した証明を与えます。

1.1. 時間は量子力学の観測量か

この問いは量子力学の初期からの懸案です。Pauli は 1933 年の『物理学ハンドブック』の量子力学の総説で、エネルギーと正準共役な自己共役作用素 $T$ があれば $e^{-i\varepsilon T}$ がエネルギーを $\varepsilon$ だけずらすので、下に有界なハミルトニアンとは両立しない、と論じました（厳密な形は Pauli の定理）。この議論は、時間はパラメータであって観測量ではない、という教科書の標準的な立場の根拠になりました。

その一方で、時間とエネルギーの不確定性関係 $\Delta E\,\Delta t\gtrsim\hbar$ は、位置と運動量の不確定性関係と並べて語られ続けました。問題は $\Delta t$ が何を指すかです。Mandelstam と Tamm（1945）は、時間作用素を使わずに、観測量 $A$ の期待値が標準偏差 1 つ分だけ動くのにかかる時間 $\tau_A=\Delta A/|\mathrm{d}\langle A\rangle/\mathrm{d}t|$ について $\Delta H\,\tau_A\ge\hbar/2$ を示しました（Mandelstam–Tamm の不等式）。ここでの $\Delta t$ は「状態が目に見えて変わるまでの時間」です。Aharonov と Bohm（1961）は、エネルギーの測定には長い時間がかかるという解釈を批判し、その議論の中で自由粒子の時間作用素 $T_{\mathrm{AB}}=\frac m2(xp^{-1}+p^{-1}x)$（原点への到着時刻の符号を変えたもの）を提案しました。Busch は時間の役割を、外部の時計で読む「外部時間」、系の運動そのものが刻む「内部時間（力学的時間）」、崩壊や到着のような出来事の時刻としての「観測量としての時間」の 3 つに分けて整理し、時間–エネルギーの不確定性関係はそれぞれの文脈で別の形をとり、唯一の普遍的な関係は無いと論じています。時間作用素の理論は、このうち 3 番目の「観測量としての時間」を作用素として表そうとする試みです。

数学の側では、Pauli の議論が交換関係をユニタリ群の形（Weyl 関係）で読んだときにだけ厳密であることが意識され、Weyl 関係を半分だけ課した弱 Weyl 関係が Schmüdgen（1983）の交換関係の表現の研究に現れます。宮本（2001）はこの形の関係を時間作用素に用い、生存確率の減衰と結びつけました。新井らはこれを強時間作用素と呼び、時間作用素・弱時間作用素と合わせた階層として整備しています（新井 2005、新井–松澤 2008、Arai–Hiroshima 2017）。

時間作用素をめぐる研究の年表（本文で触れたものだけ。間隔は年数に比例しない）。上段・下段の区別に意味はない。

1.2. 実験で測られる「時間」

時間作用素が扱おうとしているのは、次のような、実験で実際に値が測られる時間です。

• 到着時刻: 粒子が検出器に着く時刻の分布。自由粒子では、原点への古典的な到着時刻 $-mx/p$ の符号を変えて量子化したものが Aharonov–Bohm 時間作用素です（Aharonov–Bohm 時間作用素）。
• トンネル時間: 粒子が古典的に入れない障壁の中にどれだけ滞在するか。理論的には定義の候補が多く、長く論争が続きました（Hauge–Støvneng 1989 の総説）。近年は、強いレーザー場でのイオン化の遅れを測るアト秒の実験（Eckle ら 2008 など）や、極低温の原子が光の障壁を通り抜ける間のスピンの歳差運動（Larmor 時計）で滞在時間を測る実験（Ramos ら 2020）が行われています。
• 崩壊の時刻と生存確率: 不安定な状態が元のまま残る確率 $P_\psi(t)=|\langle\psi,e^{-itH}\psi\rangle|^2$ は、中間の時間帯では指数関数的に減りますが、ごく短い時間と非常に長い時間では指数法則からずれます。長時間のずれは Khalfin（1957）が理論的に示し（Khalfin の定理）、2006 年に有機分子の発光で観測されました（Rothe–Hintschich–Monkman）。
• 散乱の時間遅延: 散乱で粒子が相互作用の領域に余分に留まる時間は、Eisenbud（1948 年の学位論文）と Wigner（1955）により位相のずれ $\delta(E)$ のエネルギー微分を使って $2\hbar\,\mathrm{d}\delta/\mathrm{d}E$（S 行列要素 $e^{2i\delta}$ の位相の微分の $\hbar$ 倍）で与えられます。エネルギー表示での「エネルギー微分」は、この記事の強時間作用素 $i\,\mathrm{d}/\mathrm{d}\lambda$ と同じ形をしています。時間遅延・共鳴の寿命・崩壊の時間を物理の側から扱った記事は 時間の観測量：Wigner の時間遅延・共鳴の寿命・崩壊の時間 です。

1.3. 時間作用素はなぜ「怪しい」と言われるのか

時間作用素には、物理として受け入れにくい点がいくつもあります。

1. 自己共役でない。 Pauli の定理により、下に有界な $H$ の時間作用素は自己共役になれません。自己共役でない作用素にはスペクトル分解が無く、「$T$ を測ったら値 $\tau$ が出る確率」をそのまま定義できません（物理では正作用素値測度で時間の分布を定める流儀があります）。実際、Aharonov–Bohm 時間作用素は自己共役な拡大を持ちません（Aharonov–Bohm 時間作用素は強時間作用素）。
2. 一意でない。 $T$ が強時間作用素なら、有界な実数値ボレル関数 $f$ について $T+f(H)$ も強時間作用素です（$f(H)$ は $e^{-itH}$ と可換なので、弱 Weyl 関係の両辺に同じ項が足されるだけです）。時計の目盛りの原点を、エネルギーごとに勝手にずらせるということです。
3. 定義域しだい。 交換関係 $[T,H]=i$ を「どのベクトルの上で」課すかで、時間作用素の意味は大きく変わります。Galapon（2002）は、下に有界で離散スペクトルを持つ $H$ にも、有界な自己共役作用素 $T$ が部分空間の上で $[T,H]=i$ を満たしうることを示しました。純離散スペクトルの $H$ の時間作用素は新井–松澤（2008）が系統的に調べています。束縛状態しか持たない系にも「時計」があることになり、それがどんな物理を表すのかは自明ではありません。

階層は、これらの疑問を「どの強さの時間作用素から、どんな物理的な帰結が出るか」という問いに置き換えます。前章で示したことをまとめると次の表になります。

段	交換関係の課し方	存在すると分かること
Weyl 対	$e^{isT}e^{itH}=e^{-ist}e^{itH}e^{isT}$	$T$ は自己共役で、$\sigma(H)=\mathbb{R}$（Pauli の定理）
強時間作用素	弱 Weyl 関係 $Te^{-itH}\psi=e^{-itH}(T+t)\psi$	$H$ は純絶対連続（宮本）。$\psi\in D(T^n)$ の生存確率は $O(t^{-2n})$。$\Delta T\,\Delta H\ge1/2$
時間作用素	部分空間 $\mathcal D$ の上で $[T,H]=i$	$\mathcal D$ の上で $\Delta T\,\Delta H\ge1/2$。離散スペクトルでもありうる
弱時間作用素	2 次形式として $[T,H]=i$	同上

強時間作用素の段では、存在することが「束縛状態が無い」「状態が減衰する」という、実験で確かめられる性質を導きます。この段こそが、時間の観測量として物理的な内容を持つ段だと言えます。そうなると、どの $H$ がこの段の時間作用素を持つのかを正確に知りたくなります。

1.4. 答えが分かると何が嬉しいか

• 判定がスペクトルの言葉で済む。 強時間作用素の存在は、ユニタリ群と非有界作用素の定義域が絡む「動的な」条件ですが、分類定理によって、多重度関数という「静的な」スペクトルの不変量だけで判定できるようになります。自由ラプラシアンは強時間作用素を持ち、固有値を 1 つでも持つハミルトニアンは持ちません。スペクトルに隙間があっても、多重度がエネルギーとともに変わっても、それが開集合で記述できるかぎり強時間作用素はあります（定理 5.1 と §6 の例）。
• 散乱状態の上の時計。 散乱理論で波動作用素が存在して完全なら、ハミルトニアンの絶対連続部分は自由なハミルトニアンとユニタリ同値です（完全性と絶対連続部分のユニタリ同値）。多重度関数はユニタリ同値で変わらないので、自由なハミルトニアンの多重度が下半連続なら、散乱状態の部分空間の上には強時間作用素があります。
• 減衰と不確定性の定量評価。 強時間作用素 $T$ を 1 つ持てば、その定義域の状態について生存振幅の上界 $|\langle\psi,e^{-itH}\psi\rangle|\le2\|\psi\|\|T\psi\|/|t|$ と、密度の評価（定理 3.1）が得られます。
• 多重度理論との接点。 証明の要は「強時間作用素の定義域のベクトルはスペクトル密度が連続になる」ことで、連続な密度から多重度を読む方法（Hahn–Hellinger の定理と Gram 行列）につながります。時間の観測量という物理の問いが、100 年前の 2 次形式の不変量の理論と結びつくところが、この問題の面白さだと思います。

1.5. この記事の位置づけ

分類定理（定理 5.1）は新しい結果ではなく、Schmüdgen（1983）と Dorfmeister–Dorfmeister（1984）の交換関係の表現の分類に含まれます（範囲の違いは 注意 5.2）。密度の正則性（定理 3.1）は宮本（2001）・新井（2005）の議論を精密にした形です。この記事が独自に行うのは、弱 Weyl 関係から出る密度の正則性と、多重度の Gram 行列による読み取りを組み合わせた、原論文とは別の短い証明を、Rikai の中で公理までたどれる形で与えることです。

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