Jacobi 行列とモーメント問題：直交多項式・Carleman の条件・Simon–Wolff の判定

0. この記事の要点

Jacobi 行列とは、一列に並んだ点 $0,1,2,\dots$ の上で、隣り合う点どうしにだけ値を渡す行列です。たとえば 4 点を取ると、対角線とその両隣にしか 0 でない成分がない形になります。この記事では、この行列が多項式の列（直交多項式）と測度の問題（モーメント問題）の両方と同じ内容を表していることを見ます。読み終えると、モーメントの列から測度が一意に決まるかどうかを、行列の自己共役性の問題として判定できるようになります。

• Jacobi 行列 $J_0$（三重対角、$b_n>0$）について、$J_0^*u=zu$ の解は直交多項式 $p_n(z)$ の定数倍に限られます。したがって $J_0$ が本質的自己共役であることと $\sum_n|p_n(i)|^2=\infty$ が同値で、不足指数（自己共役にするために足りない分の次元）は $(0,0)$ か $(1,1)$ です。1 次元 Schrödinger 作用素の極限点・極限円の離散版です。
• 自己共役な Jacobi 行列 $J$ にとって $e_0$ は巡回ベクトル（$J$ を繰り返し掛けてできるベクトルの張る空間が稠密、という性質）で、$e_n\mapsto p_n$ が $\ell^2$ から $L^2(\mu)$（$\mu$ は $e_0$ のスペクトル測度）へのユニタリ写像になり、$J$ は $x$ の掛け算に移ります。「Jacobi 行列」「直交多項式」「スペクトル測度」は同じものの三つの顔です。
• Hamburger のモーメント問題：実数列 $m_k$ が $\int x^kd\mu$ の形に書ける（有限個の点に集中しない）測度 $\mu$ が存在するための必要十分条件は Hankel 行列の正定値性で、$\mu$ が一意であることと $J_0$ の本質的自己共役性が同値です。Carleman の条件 $\sum m_{2n}^{-1/(2n)}=\infty$ は一意性の十分条件です。対数正規分布は一意性が破れる例です。
• Simon–Wolff の判定：階数 1 摂動（$e_0$ 方向だけに $t$ 倍の補正を足す摂動）$J+t|e_0\rangle\langle e_0|$ について、$G(\lambda)=\int d\mu(x)/(x-\lambda)^2$ が Borel 集合 $B$ のほとんど至る所で有限なら、ほとんどすべての $t$ で $B$ 上のスペクトルは純点です。証明は前章のスペクトル平均と、Borel 変換（$\int d\mu(x)/(x-z)$ の形の関数）の境界値による測度の密度の評価の組み合わせです。

この記事で使う事前知識

• 自己共役・本質的自己共役: 作用素が自分自身の随伴と一致する、またはその閉包が自己共役になる、という性質。→ 自己共役作用素、本質的自己共役
• Jacobi 行列: 対角成分 $a_n$ と、その両隣の正の成分 $b_n$ だけを持つ行列。→ Jacobi 行列
• 直交多項式と三項漸化式: 測度に関して互いに直交する多項式の列で、隣り合う 3 項の関係で次々に作れる。→ 直交多項式
• スペクトル測度: 自己共役作用素 $J$ とベクトル $e_0$ から決まる測度で、$\int x^kd\mu=\langle e_0,J^ke_0\rangle$ を満たすもの（スペクトル定理で与えられる）。
• ユニタリ写像: 内積を保つ全単射の線形写像。→ ユニタリ写像
• 純点・絶対連続: 測度が点質量の和である、または Lebesgue 測度に関する密度を持つ、という区別。→ スペクトルの分類

1. 動機

Jacobi 行列は、半直線の格子 $\{0,1,2,\dots\}$ 上の最近接ホッピングとポテンシャルからなる「離散 Schrödinger 作用素」です。一方でそれは、直交多項式の三項漸化式（直交多項式）の係数行列でもあり、さらに Hamburger のモーメント問題を解く道具でもあります。数列 $m_0,m_1,\dots$ が与えられたとき、$m_k=\int x^kd\mu$ となる測度 $\mu$ はあるか、あるなら一つか、という古典的な問題は、19 世紀末の Stieltjes の連分数の研究に始まり、Hamburger, Nevanlinna, Riesz らによって作用素論の言葉に移されました。

自己共役性の判定（続）では Carleman の条件 $\sum1/b_n=\infty$ による本質的自己共役性を示しました。この章では、それをモーメント問題の一意性へつなぎ、さらにスペクトル理論の現代的な道具であるスペクトル平均（前章の 補題 5.1［1 次元散乱と Jost 関数］）を Jacobi 行列に適用して、Anderson 局在の証明の骨格となる Simon–Wolff の判定を導きます。

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