# Jacobi 行列とモーメント問題：直交多項式・Carleman の条件・Simon–Wolff の判定
> Jacobi 行列の本質的自己共役性を多項式解の 2 乗可和性で判定し、スペクトル測度と直交多項式の対応から Hamburger のモーメント問題の存在と一意性（Carleman の条件）を証明する。スペクトル平均を使って、階数 1 摂動のほとんどすべての結合定数で純点スペクトルになる Simon–Wolff の判定を導く。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/spectral-scattering/jacobi-matrices-moments
## 0. この記事の要点
Jacobi 行列とは、一列に並んだ点 $0,1,2,\dots$ の上で、隣り合う点どうしにだけ値を渡す行列です。たとえば 4 点を取ると、対角線とその両隣にしか 0 でない成分がない形になります。この記事では、この行列が多項式の列（直交多項式）と測度の問題（モーメント問題）の両方と同じ内容を表していることを見ます。読み終えると、モーメントの列から測度が一意に決まるかどうかを、行列の自己共役性の問題として判定できるようになります。
- [Jacobi 行列](/mathematics/functional-analysis/self-adjointness-criteria-2#def-jacobi-matrix) $J_0$（三重対角、$b_n>0$）について、$J_0^*u=zu$ の解は**直交多項式** $p_n(z)$ の定数倍に限られます。したがって $J_0$ が[本質的自己共役](/mathematics/functional-analysis/self-adjointness-criteria#def-symmetric-essentially-self-adjoint)であることと $\sum_n|p_n(i)|^2=\infty$ が同値で、不足指数（自己共役にするために足りない分の次元）は $(0,0)$ か $(1,1)$ です。1 次元 Schrödinger 作用素の極限点・極限円の離散版です。
- 自己共役な Jacobi 行列 $J$ にとって $e_0$ は巡回ベクトル（$J$ を繰り返し掛けてできるベクトルの張る空間が稠密、という性質）で、$e_n\mapsto p_n$ が $\ell^2$ から $L^2(\mu)$（$\mu$ は $e_0$ のスペクトル測度）への[ユニタリ写像](/mathematics/functional-analysis/hilbert-spaces#def-unitary)になり、$J$ は $x$ の掛け算に移ります。「Jacobi 行列」「直交多項式」「スペクトル測度」は同じものの三つの顔です。
- **Hamburger のモーメント問題**：実数列 $m_k$ が $\int x^kd\mu$ の形に書ける（有限個の点に集中しない）測度 $\mu$ が存在するための必要十分条件は Hankel 行列の正定値性で、$\mu$ が一意であることと $J_0$ の本質的自己共役性が同値です。**Carleman の条件** $\sum m_{2n}^{-1/(2n)}=\infty$ は一意性の十分条件です。対数正規分布は一意性が破れる例です。
- **Simon–Wolff の判定**：階数 1 摂動（$e_0$ 方向だけに $t$ 倍の補正を足す摂動）$J+t|e_0\rangle\langle e_0|$ について、$G(\lambda)=\int d\mu(x)/(x-\lambda)^2$ が Borel 集合 $B$ のほとんど至る所で有限なら、ほとんどすべての $t$ で $B$ 上のスペクトルは[純点](/mathematics/functional-analysis/spectrum-classification#def-spectral-subspaces)です。証明は前章の**スペクトル平均**と、Borel 変換（$\int d\mu(x)/(x-z)$ の形の関数）の境界値による測度の密度の評価の組み合わせです。
## 1. 動機
Jacobi 行列は、半直線の格子 $\{0,1,2,\dots\}$ 上の最近接ホッピングとポテンシャルからなる「離散 Schrödinger 作用素」です。一方でそれは、直交多項式の三項漸化式（[直交多項式](/mathematics/special-functions/orthogonal-polynomials)）の係数行列でもあり、さらに Hamburger のモーメント問題を解く道具でもあります。数列 $m_0,m_1,\dots$ が与えられたとき、$m_k=\int x^kd\mu$ となる測度 $\mu$ はあるか、あるなら一つか、という古典的な問題は、19 世紀末の Stieltjes の連分数の研究に始まり、Hamburger, Nevanlinna, Riesz らによって作用素論の言葉に移されました。
[自己共役性の判定（続）](/mathematics/functional-analysis/self-adjointness-criteria-2)では Carleman の条件 $\sum1/b_n=\infty$ による本質的自己共役性を示しました。この章では、それをモーメント問題の一意性へつなぎ、さらにスペクトル理論の現代的な道具であるスペクトル平均（前章の