正則性クラスと抽象共役作用素法：C¹(A)・極限吸収原理の完全な証明・埋め込み固有値の不安定性

0. この記事の要点

量子力学では、エネルギーが連続的に分布する状態に、外から弱い力が加わると何が起こるかを問います。この記事は、位置のような「広がり」を測る量 $A$ を一つ用意し、それを使うと、エネルギー $H$ の作用がどこまで遠くへ届くかを数学的に押さえられることを説明します。読み終えると、極限吸収原理（レゾルベントが実軸上でも意味を持つこと）の証明の骨格と、連続スペクトルに埋まった固有値が弱い摂動で消える理由を追えるようになります。

• 自己共役作用素 $A$ に対し、有界作用素 $T$ が $C^k(A)$ 級であるとは $s\mapsto e^{-isA}Te^{isA}$ が強位相で $C^k$ 級であることをいいます。$C^1(A)$ は「形式 $[T,A]$ が有界」と同値で、積・随伴・逆について閉じています。非有界な $H$ はレゾルベントで正則性を測ります（Amrein–Boutet de Monvel–Georgescu の枠組み）。
• Helffer–Sjöstrand 公式 $f(H)=\frac1\pi\int\bar\partial\tilde f(z)(H-z)^{-1}dx\,dy$ により、$H\in C^1(A)$ なら $f\in C_c^\infty(\mathbb{R})$ について $f(H)\in C^1(A)$ で、交換子 $[f(H),A]$ が明示できます。
• $C^1(A)$ 級の $H$ については、定義域の条件 (M2) なしに Virial 定理 $\langle\psi,i[H,A]\psi\rangle=0$ が成り立ちます。
• 2 階の交換子が $H$ 有界であるという仮定と区間上の厳密な Mourre 評価から、重み $\langle A\rangle^{-s}$（$1/2<s\le1$）の極限吸収原理を、散逸 $-i\varepsilon M$ を加えたレゾルベントの $\varepsilon$ についての微分不等式と Gronwall の不等式で完全に証明します。$s>1/2$ は $\int_0^1\varepsilon^{s-3/2}d\varepsilon<\infty$ という形で効きます。同じ一様評価を、有界な増加関数 $F(A)$ を観測量とするエネルギー恒等式（Gérard の方法）でも証明します。こちらでは $s>1/2$ は $F$ が有界であることとして効きます。
• 埋め込まれた単純固有値 $E_0$ は、Fermi の黄金律の量 $\Gamma=\pi\langle\bar PW\varphi,\delta(H_0-E_0)\bar PW\varphi\rangle$ が正なら、小さな摂動 $\kappa W$ で $E_0$ の近くから固有値ごと消えます。証明は「固有ベクトルが生む状態のスペクトル密度は $0$」という 1 行の観察と極限吸収原理の組み合わせです。

この記事で使う事前知識

• 自己共役作用素: 実数の固有値に相当する量をもつ、Hilbert 空間上の作用素。→ 自己共役作用素
• 強位相: 作用素の列がすべてのベクトルに作用した結果で収束する、という収束の仕方。→ 強位相
• ユニタリ作用素: 内積（長さ）を保つ可逆な作用素。$e^{isA}$ はその族です。→ ユニタリ
• 関数計算: 自己共役作用素 $H$ から $f(H)$ という作用素を作る操作。→ 関数計算
• 閉作用素: グラフが閉じている作用素。非有界な $H$ を扱う基本の条件です。→ 閉作用素
• Mourre 評価: $H$ と $A$ の交換子がエネルギー区間で正であるという条件。→ Mourre 評価

1. 動機

Mourre 評価と極限吸収原理の章では、共役作用素の条件 (M1)〜(M4) を仮定して Virial 定理と固有値の有限性を証明しましたが、Mourre の定理の核心である極限吸収原理（定理 4.3［Mourre 評価と極限吸収原理］ の 2）は証明の筋道を示すにとどめました。この章の第一の目的は、その証明を省略なく与えることです。

証明を書き下そうとすると、二つの技術的な問題に出会います。一つは定義域です。(M2) の「$e^{isA}$ が $D(H)$ を保つ」は Schrödinger 作用素では確かめやすいのですが、場の模型（ボソンの個数が変わる系）では $D(H)$ が複雑で、確かめるのが難しくなります。もう一つは関数計算です。微分不等式法ではエネルギーの切り落とし $f(H)$ と $A$ の交換子を何度も扱うので、$[f(H),A]$ が有界であることを $[H,A]$ の情報から導く一般的な道具が必要です。

Amrein, Boutet de Monvel, Georgescu（以下 ABG）は、この二つを正則性クラス $C^k(A)$ でまとめて処理しました。考え方は単純で、「$H$ が $A$ に関してどれだけ滑らかか」を、ユニタリ群 $e^{isA}$ による共役 $e^{-isA}(H-z)^{-1}e^{isA}$ の $s$ についての滑らかさで測ります。有界作用素のレゾルベントに移せば定義域の問題は消え、関数計算は Helffer–Sjöstrand 公式でレゾルベントに帰着します。

以下では、まず $C^k(A)$ の基本性質を証明し、次に極限吸収原理を証明します。その応用として、埋め込み固有値が摂動で消えること（共鳴の章で複素スケーリングを使って扱った現象の、解析性を仮定しない版）と、局所減衰の評価を述べます。

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