粒子を標的に当てて、遠くへ飛び去った先で何が起きたかを調べるのが散乱実験です。この記事は、衝突の前と後で粒子がどんな運動をしているかを、量子力学の時間発展の極限として正確に定式化し、その定式化がいつ成り立つかを調べます。遠くまで力が届く Coulomb 力ではそのままでは成り立たないので、どう直すかも扱います。読み終えると、「波動作用素が存在する」「漸近完全である」という言葉が、それぞれ何を保証しているのかを説明できます。
自己共役作用素の組 ( H , H 0 ) (H,H_0) ( H , H 0 ) Ω ± = s - l i m t → ± ∞ e i t H e − i t H 0 P a c ( H 0 ) \Omega_\pm=\mathop{\mathrm{s\text{-}lim}}_{t\to\pm\infty}e^{itH}e^{-itH_0}P_{\mathrm{ac}}(H_0) Ω ± = s - lim t → ± ∞ e i t H e − i t H 0 P ac ( H 0 ) Ω ± \Omega_\pm Ω ± H a c ( H 0 ) \mathcal{H}_{\mathrm{ac}}(H_0) H ac ( H 0 ) 部分等長作用素 （ある部分空間の上では長さを保ち、その直交補空間の上では 0 0 0 H Ω ± = Ω ± H 0 H\Omega_\pm=\Omega_\pm H_0 H Ω ± = Ω ± H 0 H 0 H_0 H 0 H H H H a c ( H ) \mathcal{H}_{\mathrm{ac}}(H) H ac ( H )
Cook の方法 : 稠密な集合の上で ∥ ( H − H 0 ) e − i t H 0 φ ∥ \|(H-H_0)e^{-itH_0}\varphi\| ∥ ( H − H 0 ) e − i t H 0 φ ∥ t t t − Δ -\Delta − Δ ∣ V ( x ) ∣ ≤ C ( 1 + ∣ x ∣ ) − 1 − ε |V(x)|\le C(1+|x|)^{-1-\varepsilon} ∣ V ( x ) ∣ ≤ C ( 1 + ∣ x ∣ ) − 1 − ε 漸近完全性 は R a n Ω + = R a n Ω − = H a c ( H ) \mathrm{Ran}\,\Omega_+=\mathrm{Ran}\,\Omega_-=\mathcal{H}_{\mathrm{ac}}(H) Ran Ω + = Ran Ω − = H ac ( H ) H s c ( H ) = { 0 } \mathcal{H}_{\mathrm{sc}}(H)=\{0\} H sc ( H ) = { 0 } V V V C 2 C^2 C 2 x ⋅ ∇ V x\cdot\nabla V x ⋅ ∇ V ( x ⋅ ∇ ) 2 V (x\cdot\nabla)^2V ( x ⋅ ∇ ) 2 V Mourre 評価 （スペクトルのある区間で、共役作用素との交換子が正になるという不等式）による局所平滑性と、Kato の平滑摂動論（∥ G e − i t H ψ ∥ 2 \|Ge^{-itH}\psi\|^2 ∥ G e − i t H ψ ∥ 2 G G G 散乱作用素 S = Ω + ∗ Ω − S=\Omega_+^*\Omega_- S = Ω + ∗ Ω − H 0 H_0 H 0 H a c ( H 0 ) \mathcal{H}_{\mathrm{ac}}(H_0) H ac ( H 0 ) R a n Ω + = R a n Ω − \mathrm{Ran}\,\Omega_+=\mathrm{Ran}\,\Omega_- Ran Ω + = Ran Ω −
Coulomb ポテンシャルのような長距離ポテンシャルでは、自由運動との比較が対数的にずれるため、波動作用素は存在しません。自由時間発展に運動量依存の対数位相を加える Dollard 修正 で、散乱理論が回復します。
自己共役作用素 : 実数値の観測量（エネルギーなど）を表す作用素で、スペクトル分解ができるもの。→ 自己共役作用素 ユニタリ作用素 : 内積を保つ全単射で、時間発展 e − i t H e^{-itH} e − i t H ユニタリ 直交射影 : 空間の元を閉部分空間へ垂直に落とす作用素。P a c ( H 0 ) P_{\mathrm{ac}}(H_0) P ac ( H 0 ) 直交射影 絶対連続・特異連続・純点の各部分空間 : 状態のスペクトル測度の型（Lebesgue 測度に絶対連続、特異連続、固有値だけ）による空間の分解。→ スペクトル部分空間 部分等長作用素 : ある部分空間の上で長さを保ち、その直交補空間の上で 0 0 0 部分等長作用素 Fourier 変換 : − Δ -\Delta − Δ ∣ k ∣ 2 |k|^2 ∣ k ∣ 2 Fourier 変換 散乱実験では、遠方から粒子を標的に当て、遠方に飛び去った粒子を観測します。相互作用が効くのは衝突の前後の有限の時間だけで、遠い過去と遠い未来の粒子は自由粒子のように運動していると考えるのが自然です。古典力学では、ポテンシャルが遠方で速く減衰すれば、軌道 x ( t ) x(t) x ( t ) t → ± ∞ t\to\pm\infty t → ± ∞ x ± + v ± t x_\pm+v_\pm t x ± + v ± t ( x − , v − ) (x_-,v_-) ( x − , v − ) ( x + , v + ) (x_+,v_+) ( x + , v + )
量子力学で同じことを言うには、二つの時間発展 e − i t H e^{-itH} e − i t H e − i t H 0 e^{-itH_0} e − i t H 0 ψ \psi ψ t → + ∞ t\to+\infty t → + ∞ e − i t H 0 φ + e^{-itH_0}\varphi_+ e − i t H 0 φ +
lim t → + ∞ ∥ e − i t H ψ − e − i t H 0 φ + ∥ = 0 \lim_{t\to+\infty}\|e^{-itH}\psi-e^{-itH_0}\varphi_+\|=0 t → + ∞ lim ∥ e − i t H ψ − e − i t H 0 φ + ∥ = 0 のことで、e − i t H e^{-itH} e − i t H ψ = lim t → + ∞ e i t H e − i t H 0 φ + \psi=\lim_{t\to+\infty}e^{itH}e^{-itH_0}\varphi_+ ψ = lim t → + ∞ e i t H e − i t H 0 φ + φ ± \varphi_\pm φ ± ψ \psi ψ 波動作用素 が現れます。入射状態 φ − \varphi_- φ − φ + \varphi_+ φ + 散乱作用素 で、物理で測る散乱振幅・断面積はすべてこの作用素から読み取れます。
V が効く領域 入射の漸近線 x₋ + v₋t（t → −∞） 出射の漸近線 x₊ + v₊t（t → +∞） （相互作用がなければこう進む） φ₋（入射）↦ ψ = Ω₋φ₋ ↦ φ₊ = Ω₊*ψ = Sφ₋（出射） 散乱の描像。実際の運動（実線）は、遠い過去には入射の自由運動（下の破線）に、遠い未来には出射の自由運動（斜めの破線）に漸近する。波動作用素は漸近状態から実際の状態を作り、散乱作用素は入射の漸近状態を出射の漸近状態に写す。 この枠組みでは次の 3 つの問いが分かれます。
存在 : 強極限は存在するか。存在しないなら、何を比較の基準にすべきか。性質 : 存在したとき、波動作用素はどのような作用素か。完全性 : 束縛状態でない状態は、すべて自由運動に漸近するか。
この章では 1 と 2 を完全に扱い、3 については定義と、散乱作用素のユニタリ性との関係を述べます。3 を証明する一般的な方法の一つが次章の トレースクラス摂動と Kato–Rosenblum の定理 です。
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執筆: Claude Code（Opus 5.5）、Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 6 回（Claude Code）・最終 2026-10-12