Harper 模型とほぼ Mathieu 作用素：Hofstadter の蝶・Aubry 双対性・Herman の下界

0. この記事の要点

結晶の中を動く電子に一様な磁場をかけると、磁場の強さ（格子 1 マスを貫く磁束）が有理数か無理数かで、電子が取れるエネルギーの範囲がまったく違う姿になります。この記事は、その問題が「周期が揃わない 1 次元の差分方程式」に帰着されることを示し、そのエネルギーの範囲を表す図（Hofstadter の蝶）の描き方と、解が増え続ける速さ（Lyapunov 指数）の下からの評価を証明します。読み終えると、無理数の磁束のとき結合が強い側では「波が広がったままの状態」に対応するスペクトルが存在しない、という結論の理由を追えるようになります。

• 一様磁場中の 2 次元正方格子の電子（強束縛近似）は、ホッピングに Peierls 位相を付けた作用素で記述されます。プラケットあたりの磁束 $\alpha$（磁束量子単位）だけがユニタリ同値類を決め、Landau ゲージで縦方向に Fourier 変換すると、1 次元の Harper 方程式 $u(m+1)+u(m-1)+2\lambda\cos 2\pi(\theta+m\alpha)\,u(m)=Eu(m)$ の直積分（各 $\theta$ ごとの作用素を並べて束ねたもの。周期作用素と Bloch–Floquet 分解）に分解されます。この 1 次元作用素がほぼ Mathieu 作用素（概 Mathieu 作用素）$H_{\alpha,\lambda,\theta}$ です。
• $\alpha=p/q$ が有理数なら $H_{\alpha,\lambda,\theta}$ は周期 $q$ の Jacobi 作用素で、Bloch 行列の行列式は Chambers の公式 $D(E)-2\cos qk-2\lambda^q\cos 2\pi q\theta$ の形に分離します。2 次元のスペクトルは $\{|D(E)|\le 2+2\lambda^q\}$ で、$\alpha$ を縦軸にとって描いたものが Hofstadter の蝶です。
• Aubry 双対性：2 次元格子を 90° 回してゲージ変換すると、$\int^\oplus H_{\alpha,\lambda,\theta}\,d\theta$ と $\lambda\int^\oplus H_{\alpha,1/\lambda,\theta}\,d\theta$ がユニタリ同値（ユニタリ作用素で移り合うこと）になります。$\alpha$ が無理数ならスペクトルは位相 $\theta$ に依らず、$\Sigma_{\alpha,\lambda}=\lambda\,\Sigma_{\alpha,1/\lambda}$ です。
• Herman の下界：位相 $e^{2\pi i\theta}$ を複素変数に延長すると転送行列が多項式行列になり、劣調和関数の平均値不等式（ここでは多項式に対する Jensen の不等式）から、すべての $\alpha$・$E$ で Lyapunov 指数が $L(E)\ge\max\{0,\log\lambda\}$ を満たします。
• $\lambda>1$、$\alpha$ が無理数なら、ほとんどすべての $\theta$ で、Harper 方程式の解は 1 方向を除いて指数的に増大します。多項式的に有界な一般化固有関数は高々 1 次元です。さらに、スペクトル測度のほとんどすべてのエネルギーに多項式的に有界な一般化固有関数があることと Oseledets の定理を組み合わせて Ishii–Pastur の定理を示し、$\lambda>1$ では絶対連続スペクトルが無いことを証明します。Ten Martini、$\lambda=1$ の特異連続性は主張のみ述べます。

この記事で使う事前知識

• Jacobi 行列: 対角と隣の成分だけが 0 でない、無限に続く三重対角の行列で、2 階の差分方程式に対応するもの。→ Jacobi 行列
• Bloch–Floquet 分解: 周期的な作用素を、位相ごとの有限次元の作用素の直積分に分けてスペクトルを調べる方法。→ 周期作用素と Bloch–Floquet 分解
• ユニタリ同値: 2 つの作用素がユニタリ作用素で移り合うこと。スペクトルは変わりません。
• 劣調和関数: 円周上の平均が中心での値以上になる関数。→ 劣調和関数
• 絶対連続スペクトル: スペクトル測度が Lebesgue 測度に対して絶対連続になる部分。→ スペクトルの分類
• Cantor 集合: 孤立点も内点も持たない閉集合。→ Cantor 集合

1. 動機

結晶中の電子に一様磁場をかけると、長さの尺度が二つ現れます。格子定数 $a$ と磁気長 $\ell_B=\sqrt{\hbar/eB}$ です。比 $\alpha=Ba^2/(h/e)$ は単位胞を貫く磁束を磁束量子 $h/e$ で測ったもので、$\alpha$ が有理数か無理数かでスペクトルの姿がまったく変わります。Harper（1955）は強束縛近似でこの問題を 1 次元の差分方程式に帰着し、Hofstadter（1976）は有理数 $\alpha=p/q$ ごとにスペクトルを数値計算して、自己相似な「蝶」の図を得ました。物理的には磁場 $B\approx h/(ea^2)$ は通常の結晶では数万テスラという非現実的な大きさですが、超格子やモアレ構造では実現でき、量子ホール効果の Chern 数（TKNN 公式）との関係も含めて現在も研究されています（トポロジカル相）。

数学の側では、ほぼ Mathieu 作用素は準周期 Schrödinger 作用素の代表例で、Aubry–André（1980）の双対性、Herman（1983）の Lyapunov 指数の下界、Avila–Jitomirskaya の Ten Martini 問題の解決（2009）など、1 次元スペクトル理論の多くの道具がこの作用素を試金石として作られました。

この章では、Jacobi 行列（Jacobi 行列とモーメント問題）と、周期作用素と Bloch–Floquet 分解 の直積分の道具を使って、物理模型から作用素を導くところから Herman の下界、さらに 劣加法エルゴード定理と Lyapunov 指数 の Oseledets の定理を使った Ishii–Pastur の定理（$\lambda>1$ で絶対連続スペクトルが無いこと）までを証明します。スペクトルの型の完全な分類は研究水準の深い結果なので、主張と文献だけを §9 にまとめます。

ここから先は有料（買い切り ¥200）の内容です。

この章は博士課程以上・研究水準の内容です。続き（定義・定理・証明・例・演習）は ¥200 の買い切りで、他の有料章と 100 本ノックも含めてすべて読めます。無料の章は最後まで読めます。

購入する ログイン