劣加法エルゴード定理と Lyapunov 指数：Kingman・Furstenberg–Kesten・Oseledets

0. この記事の要点

長い道のりを前半と後半に分けて進むとき、全体の所要時間は、近道があるかもしれないので、前半と後半の所要時間の和以下になります。このように「分けた部分の和で上から押さえられる量」を長く続けると、1 区間あたりの平均がほぼ一定の値に落ち着く、というのが Kingman の定理です。行列を何度も掛けたとき、結果の大きさが 1 回あたりどれだけの割合で伸びるかを調べるのに使います。この記事を読むと、その伸び率（Lyapunov 指数）が存在することの証明と、縮む方向が 1 つに決まる理由が分かります。

• 確率変数の列 $g_n$ が $g_{n+m}\le g_n+g_m\circ T^n$ を満たすとき（劣加法的コサイクル。$g_n$ は時刻 $0$ から $n$ までに「かかった量」、$g_m\circ T^n$ は時刻 $n$ から $m$ だけ進む間の量を表す）、測度保存系の上で $g_n/n$ はほとんど至る所収束します（Kingman の劣加法エルゴード定理）。数列についての Fekete の補題と、和についての Birkhoff の定理の共通の一般化です。
• 証明は Steele（1989）の方法で行います。Birkhoff の定理で加法的な部分を取り除いて $g_n\le0$ に帰着し、「早めに平均が下がる時刻」で $[0,n)$ を貪欲に区切ります。
• 行列値関数 $A$ の積 $A_n(x)=A(T^{n-1}x)\cdots A(x)$ について、$\log\|A_n\|$ は劣加法的なので、$\frac1n\log\|A_n(x)\|$ は a.e. で Lyapunov 指数 $L$ に収束します（Furstenberg–Kesten の定理）。
• $SL(2,\mathbb{R})$ に値をとるエルゴード的なコサイクルで $L>0$ なら、ほとんどすべての $x$ でベクトル $v$ の方向がちょうど 1 つあって $\|A_n(x)v\|$ は $e^{-nL}$ の速さで減衰し、それ以外の方向は $e^{nL}$ で増大します（Oseledets の定理の 2 次元版）。鍵は、ノルムの成長率だけから減衰方向を構成する決定論的な補題です。
• これらは 1 次元の Schrödinger 作用素の転送行列に使われ、Ishii–Pastur の定理（Lyapunov 指数が正のエネルギーに絶対連続スペクトルは無い）の証明の材料になります。

この記事で使う事前知識

• 測度保存系: 空間 $X$ と、測度を変えない写像 $T$ の組。時間発展を表すモデルです。→ 測度保存系
• エルゴード的: 不変な集合が測度 $0$ か $1$ に限られる、という性質。時間平均が定数になります。→ エルゴード定理
• Birkhoff の定理: 測度保存系の上で、時間平均 $\frac1n\sum_{k<n}f\circ T^k$ がほとんど至る所収束するという定理。→ エルゴード定理
• 条件付き期待値: 情報を与えられたもとでの平均。証明では不変な関数への射影として現れます。→ 条件付き期待値
• 特異値分解: 行列を「直交変換・各方向への拡大縮小・直交変換」に分ける分解。§4 で最も縮む方向・伸びる方向を取るのに使います。→ 行列の分解と標準形

1. 動機

確率変数の和 $X_1+\dots+X_n$ に対する大数の法則を、積 $Y_n\cdots Y_1$ に拡げることを考えます。$Y_k$ が正の実数なら対数を取って和に戻せますが、$Y_k$ が行列だと $\log$ は積を和に変えません。それでもノルムについては $\|Y_{n+m}\cdots Y_1\|\le\|Y_{n+m}\cdots Y_{n+1}\|\,\|Y_n\cdots Y_1\|$ が成り立つので、対数を取ると劣加法性が残ります。

数列の場合、劣加法的な $a_{n+m}\le a_n+a_m$ に対して $a_n/n$ が収束することは Fekete の補題（補題 6.1［数え上げと母関数］）です。Kingman（1968）はこれを測度保存系の上の確率変数の列に拡げ、Birkhoff の定理（定理 5.2［エルゴード定理］）と Fekete の補題を 1 つにまとめました。Furstenberg と Kesten（1960）はそれ以前に、独立な乱行列の積のノルムの成長率を調べていました。

応用の典型は 1 次元の離散 Schrödinger 方程式 $u(n+1)+u(n-1)+V(n)u(n)=Eu(n)$ です。解は 2×2 の転送行列（隣り合う 2 点での解の値から、1 つ先の 2 点での値を作る行列）の積で書け、その成長率（Lyapunov 指数）がスペクトルの型を決めます。Harper 模型とほぼ Mathieu 作用素 では、位相についての平均 $\int\log\|A_n\|$ だけを Fekete の補題で扱いました。この章の定理は、個々の位相での成長率と、減衰する解の存在を与えます。

2. Kingman の劣加法エルゴード定理

以下 $(X,\mathcal{B},\mu,T)$ は測度保存系（定義 2.1［エルゴード定理］）、$\mathcal{I}$ は不変 σ-加法族、$S_nf=\sum_{k<n}f\circ T^k$ です。

定義 2.1（劣加法的コサイクル）↗

可積分な実数値関数の列 $g_n\in L^1(\mu)$（$n\ge1$）が、ほとんどすべての $x$ で

$$g_{n+m}(x)\le g_n(x)+g_m(T^nx)\qquad(\text{すべての }n,m\ge1)$$

を満たすとき、$(g_n)$ を劣加法的コサイクルという。等号が成り立つものを加法的コサイクルという。

加法的コサイクルは $g_n=S_ng_1$ の形のものに限ります（$m=1$ として帰納法）。Birkhoff の定理はこの場合の主張です。

不等式の意味は、区間 $[0,n+m)$ を $[0,n)$ と $[n,n+m)$ に分けて見ると分かります。たとえば $g_n=S_nf$ なら、$S_{n+m}f(x)$ は最初の $n$ 項の和 $S_nf(x)$ と、残りの $m$ 項の和の合計で、残りの和は $T^nx$ から数え始めた $S_mf(T^nx)$ にちょうど等しくなります。コサイクルの条件は、この等式を「$\le$」に弱めたものです。

g_{n+m}(x) ≤ g_n(x) + g_m(T^n x) の意味。時刻 0 から n+m までを、0 から n までと、n から n+m までに分ける。後半は点 T^n x から出発して m 歩進む量として測る。

補題 2.2（積分の劣加法性）✓

劣加法的コサイクルについて $\gamma_n=\int g_n\,d\mu$ は劣加法的で、$\gamma=\lim_n\gamma_n/n=\inf_n\gamma_n/n\in[-\infty,\infty)$ が存在する。

証明（補題 2.2）

定義の不等式を積分し、$\int g_m\circ T^n\,d\mu=\int g_m\,d\mu$（補題 2.2［エルゴード定理］ の 2）を使うと $\gamma_{n+m}\le\gamma_n+\gamma_m$ です。あとは Fekete の補題（補題 6.1［数え上げと母関数］）です。

∎

補題 2.3（劣不変な関数は不変）✓

$h:X\to[-\infty,\infty]$ が可測で、ほとんどすべての $x$ で $h(x)\le h(Tx)$ を満たすなら、$h\circ T=h$ a.e. である。

証明（補題 2.3）

有理数 $c$ について $A_c=\{h>c\}$ とおくと、仮定から $A_c\setminus T^{-1}A_c=\{h>c\ge h\circ T\}$ は零集合です。$\mu(T^{-1}A_c)=\mu(A_c)$ なので

$$\mu(T^{-1}A_c\setminus A_c)=\mu(T^{-1}A_c)-\mu(T^{-1}A_c\cap A_c)=\mu(A_c)-\mu(T^{-1}A_c\cap A_c)=\mu(A_c\setminus T^{-1}A_c)=0$$

です。$h(x)<h(Tx)$ なら間に有理数 $c$ があり $x\in T^{-1}A_c\setminus A_c$ なので、$\{h<h\circ T\}$ は零集合の可算和に含まれます。

∎

定理 2.4（Kingman の劣加法エルゴード定理）✓

$(g_n)$ を測度保存系の上の劣加法的コサイクルとし、$\gamma$ を 補題 2.2 の値とする。可測関数 $g:X\to[-\infty,\infty)$ が存在して次が成り立つ。

1. ほとんどすべての $x$ で $g_n(x)/n\to g(x)$。
2. $g\circ T=g$ a.e.、$g^+\in L^1(\mu)$、$\int g\,d\mu=\gamma$（両辺が $-\infty$ の場合を含む）。
3. $T$ がエルゴード的なら $g=\gamma$ a.e. である。

証明の前に、具体的な場合を 2 つ見ておきます。

例 2.5（Fekete と Birkhoff）

(a) $X$ が 1 点なら $g_n$ は数列で、定理は Fekete の補題そのものです。

(b) $g_n=S_nf$（$f\in L^1$）なら加法的で、定理は 定理 5.2［エルゴード定理］ の 1・4 です。証明ではこの場合を逆に使います。

次の証明の見取り図です。まず Birkhoff の定理で加法的な部分を引き、$g_n\le0$ の場合に直します。そのうえで、$g_n/n$ の下極限（長く見たときの平均の最小の落ち着き先）を $-M$ で下から打ち切ったものを $G$ とします。長さ $n$ の区間を、「平均が $G$ に近い値まで下がる」良いブロックでできるだけ埋めます。うまく下がらない時刻（$B_N$ に入る時刻）は長さ $1$ のブロックで埋め、そのような時刻の割合は Birkhoff の定理で小さいと分かります。$G,\varepsilon,M,N$ は、この見積もりを精密にするための道具で、最後に $\varepsilon\to0$、$M\to\infty$ とします。

証明（定理 2.4）

加法的な部分の除去。 $h_n=S_ng_1$ とし $g'_n=g_n-h_n$ とおきます。$h_n$ は加法的なので $g'_n$ も劣加法的コサイクルで、$g'_1=0$ です。$m=1$ の不等式を繰り返して $g'_n\le\sum_{k<n}g'_1\circ T^k=0$ です。Birkhoff の定理（定理 5.2［エルゴード定理］）から $h_n/n\to E[g_1\mid\mathcal{I}]$ a.e. で、これは有限・可積分・不変、積分は $\int g_1$ です。また $\int g'_n=\gamma_n-n\int g_1$ です。したがって $g'_n$ について定理を示せば、$g=g'+E[g_1\mid\mathcal{I}]$ として元の主張が従います（$g^+\le(E[g_1\mid\mathcal{I}])^+$ は $g'\le0$ から）。以下 $g'_n$ を改めて $g_n$ と書き、$g_n\le0$、$g_1=0$ を仮定します。劣加法性の不等式がすべての $n,m$ で成り立つ点の集合を $Y$ とすると $\mu(Y)=1$ です。

下極限の不変性。 $\underline g=\liminf_ng_n/n\in[-\infty,0]$ とおきます。$g_{n+1}(x)\le g_1(x)+g_n(Tx)=g_n(Tx)$ から

$$\frac{g_{n+1}(x)}{n+1}\le\frac n{n+1}\cdot\frac{g_n(Tx)}n$$

で、下極限を取ると（値は $0$ 以下）$\underline g(x)\le\underline g(Tx)$ です。補題 2.3 から $\underline g\circ T=\underline g$ a.e. です。

被覆による上からの評価（Steele）。 $\varepsilon>0$、$M>0$ を固定し、$G=\max(\underline g,-M)$ とおきます。$G$ は不変（a.e.）で $-M\le G\le0$ です。$X_0$ を、すべての $k\ge0$ で $T^kx\in Y$ かつ $G(T^kx)=G(x)$ となる $x$ の集合とすると、$X_0$ は測度 $1$ の集合の可算個の共通部分（$\mu(T^{-k}Y)=\mu(Y)=1$）なので $\mu(X_0)=1$ です。

$$\tau(x)=\min\{n\ge1:g_n(x)\le n(G(x)+\varepsilon)\}$$

とおきます。$\underline g<G+\varepsilon$ が常に成り立つので（$\underline g\ge-M$ なら $G=\underline g$、そうでなければ $\underline g<-M=G$）、$g_n/n<G+\varepsilon$ となる $n$ があり、$\tau$ は有限な可測関数です。$N\ge1$ について $B_N=\{\tau>N\}$ とおくと、$B_N$ は $N$ について減少し共通部分は空です。

$x\in X_0$ と $n>N$ を固定し、$[0,n)$ を次のように区切ります。$k=0$ から始めて、$T^kx\notin B_N$ かつ $k+\tau(T^kx)\le n$ なら長さ $\tau(T^kx)$ の「良いブロック」$[k,k+\tau(T^kx))$ を取って $k$ をその右端に進め、そうでなければ長さ $1$ の「単独ブロック」$[k,k+1)$ を取って $k$ を $1$ 進めます。$T^kx\notin B_N$ なら $\tau(T^kx)\le N$ なので、単独ブロックの左端 $k$ は $T^kx\in B_N$ か $k>n-N$ のどちらかを満たします。

劣加法性を区切りに沿って繰り返し使うと、$g_n(x)$ はブロックごとの $g_{\text{長さ}}(T^{\text{左端}}x)$ の和以下です。良いブロックでは $g_\tau(T^kx)\le\tau(T^kx)\,(G(T^kx)+\varepsilon)=\tau(T^kx)(G(x)+\varepsilon)$、単独ブロックでは $g_1=0$ です。良いブロックの長さの合計を $\ell$ とすると、$n-\ell\le\#\{k<n:T^kx\in B_N\}+N$ で、$-(G+\varepsilon)\le M$ なので

$$g_n(x)\le\ell\,(G(x)+\varepsilon)=n(G(x)+\varepsilon)-(n-\ell)(G(x)+\varepsilon)\le n(G(x)+\varepsilon)+M\bigl(S_n\mathbf{1}_{B_N}(x)+N\bigr)$$

です（$n-\ell\ge0$ と $-(G+\varepsilon)\le M$ を掛け合わせた）。$n$ で割って上極限を取り、Birkhoff の定理を $\mathbf{1}_{B_N}$ に使うと、ほとんどすべての $x$ で

$$\bar g:=\limsup_n\frac{g_n}n\le G+\varepsilon+M\varphi_N,\qquad\varphi_N=E[\mathbf{1}_{B_N}\mid\mathcal{I}]$$

です。条件付き期待値の単調性（命題 4.1［条件付き期待値］ の 2）から $\varphi_N\ge0$ は $N$ について a.e. で減少し、極限 $\varphi\ge0$ は $\int\varphi\le\int\varphi_N=\mu(B_N)\to0$（測度の連続性）を満たすので $\varphi=0$ a.e. です。よって $\bar g\le G+\varepsilon$ a.e. です。$\varepsilon=1/j\to0$、$M=j\to\infty$ と可算個の値で動かすと、$\underline g>-\infty$ の点では $\bar g\le\underline g$、$\underline g=-\infty$ の点では $\bar g\le-M$ がすべての $M$ で成り立ち $\bar g=-\infty$ です。したがって $g=\lim g_n/n$ が a.e. で $[-\infty,0]$ の中に存在し、$g=\underline g$ は不変です。

積分。 $-g_n/n\ge0$ に Fatou の補題（補題 6.1［ルベーグ積分の定義と収束定理］）を使うと $\int(-g)\le\liminf_n\int(-g_n/n)=-\gamma$、すなわち $\int g\ge\gamma$ です。逆向きは $m\ge1$ を固定し、劣加法性を長さ $m$ のブロックに使って

$$g_{km}(x)\le\sum_{j=0}^{k-1}g_m(T^{jm}x)$$

とします。$T^m$ も $\mu$ を保つので、Birkhoff の定理を $T^m$ と $g_m$ に使うと右辺を $k$ で割ったものは a.e. で $\psi_m$ に収束し、$\int\psi_m=\int g_m$ です。左辺を $km$ で割った極限は $g$ なので $g\le\psi_m/m$ a.e.、よって $\int g\le\gamma_m/m$ です。$m$ について下限を取って $\int g\le\gamma$ です。

エルゴード的な場合。 $e^g\in[0,1]$ は不変なので、命題 3.3［エルゴード定理］ の 3 から a.e. で定数、したがって $g$ も a.e. で定数（$-\infty$ を含む）で、2 からその値は $\gamma$ です。

∎

注意 2.6（L¹ 収束と仮定）

$\gamma>-\infty$ なら $g_n/n\to g$ は $L^1$ でも成り立ちます（$g_n\le0$ に帰着した後、$\int g_n/n\to\gamma=\int g$ と各点収束から、Scheffé 型の議論で従います）。また仮定は $g_1^+\in L^1$ だけに弱められます。この記事の応用では使わないので、証明は省きます。

例 2.7（劣加法性が現れる例）

• 最初到達時間浸透：$\mathbb{Z}^2$ の辺に独立同分布の非負の通過時間を置き、原点から $(n,0)$ までの最短通過時間を $t_{0,n}$ とすると、$t_{0,n+m}\le t_{0,n}+t_{n,n+m}$ です。$t_{n,n+m}$ は $t_{0,m}$ を $(n,0)$ だけ平行移動したものなので、辺の重みの空間の上の平行移動（Bernoulli シフトと同様に混合的）を測度保存系とみなすと、通過時間が可積分なら $t_{0,n}/n$ は a.s. で定数（時定数）に収束します。Hammersley と Welsh が導入したこの問題が、Kingman の定理の動機の一つでした。
• 行列積のノルム：次節の $\log\|A_n\|$ です。

Steele の被覆。各時刻 k で、そこから τ(T^k x) ≤ N 歩以内に平均が G + ε 以下に下がるなら良いブロック（太線）を取り、そうでない時刻（T^k x ∈ B_N）と末尾の N 歩未満は長さ 1 の単独ブロック（白丸）で埋める。単独ブロックの数は B_N への訪問回数 + N 以下で、Birkhoff の定理によりその割合は小さい。

3. Furstenberg–Kesten の定理

定義 3.1（行列コサイクルと Lyapunov 指数）↗

測度保存系 $(X,\mathcal{B},\mu,T)$ と可測写像 $A:X\to GL(d,\mathbb{R})$ について

$$A_n(x)=A(T^{n-1}x)\cdots A(Tx)A(x)\quad(n\ge1),\qquad A_0(x)=I$$

とおき、組 $(T,A)$ を行列コサイクルという。$\|\cdot\|$ は $\mathbb{C}^d$ の Euclid ノルムに関する作用素ノルムとする。$A_{n+m}(x)=A_m(T^nx)A_n(x)$ が成り立つ。極限

$$L=\lim_{n\to\infty}\frac1n\int_X\log\|A_n(x)\|\,d\mu(x)$$

が存在するとき、これを（最大）Lyapunov 指数という。

$\log^+t=\max(\log t,0)$ と書きます。

定理 3.2（Furstenberg–Kesten の定理）✓

$(T,A)$ を行列コサイクルとし、$\log^+\|A\|$ と $\log^+\|A^{-1}\|$ が $L^1(\mu)$ に属するとする。このとき $L$ は存在して有限で、$L=\inf_n\frac1n\int\log\|A_n\|\,d\mu$ であり、ほとんどすべての $x$ で

$$\lim_{n\to\infty}\frac1n\log\|A_n(x)\|=\lambda(x)$$

が存在する。$\lambda$ は不変、可積分で $\int\lambda\,d\mu=L$。$T$ がエルゴード的なら $\lambda=L$ a.e. である。

証明（定理 3.2）

$g_n(x)=\log\|A_n(x)\|$ とおきます。行列の成分は $x$ の可測関数でノルムは連続なので、$g_n$ は可測です。作用素ノルムの劣乗法性 $\|PQ\|\le\|P\|\|Q\|$ とコサイクルの等式から

$$g_{n+m}(x)=\log\|A_m(T^nx)A_n(x)\|\le g_n(x)+g_m(T^nx)$$

で、$(g_n)$ は劣加法的です。可積分性：$g_n\le\sum_{k<n}\log^+\|A\|\circ T^k$ です。また $1=\|I\|\le\|A_n\|\|A_n^{-1}\|$、$A_n^{-1}=A(x)^{-1}\cdots A(T^{n-1}x)^{-1}$ から

$$g_n\ge-\log\|A_n^{-1}\|\ge-\sum_{k<n}\log^+\|A^{-1}\|\circ T^k$$

です。どちらの右辺も 補題 2.2［エルゴード定理］ により可積分なので $g_n\in L^1$ です。Kingman の定理（定理 2.4）から $g_n/n\to\lambda$ a.e.、$\lambda$ は不変で $\int\lambda=\gamma=L$、エルゴード的なら $\lambda=L$ です。下からの評価を積分して $\gamma_n/n\ge-\int\log^+\|A^{-1}\|$ なので $L>-\infty$、Birkhoff の定理を右辺に使えば $\lambda\ge-E[\log^+\|A^{-1}\|\mid\mathcal{I}]$ a.e. です。右辺は可積分で、Kingman の定理の 2 から $\lambda^+$ も可積分なので、$\lambda$ は可積分です。

∎

例 3.3（定数行列）

$A(x)=A$ が定数なら $\|A^n\|^{1/n}$ はスペクトル半径 $r(A)$ に収束し（Gelfand の公式、定理 6.7［有界作用素と共役作用素］）、$L=\log r(A)$ です。$A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ では $\|A^n\|$ は $n$ 程度に増えますが $L=0$ です。Lyapunov 指数は指数的な成長しか見ません。

例 3.4（Anderson 模型の転送行列）

$\nu$ を $\int\log(1+|v|)\,d\nu(v)<\infty$ を満たす $\mathbb{R}$ 上の確率測度、$(\mathbb{R}^{\mathbb{N}},P,\sigma)$ を Bernoulli シフト（例 2.6［エルゴード定理］）とします。$E\in\mathbb{R}$ について

$$A^E(x)=\begin{pmatrix}E-x_1&-1\\1&0\end{pmatrix}$$

とおくと、$A^E_n(x)$ は独立同分布のポテンシャル $V(k)=x_k$ をもつ方程式 $u(k+1)+u(k-1)+V(k)u(k)=Eu(k)$ の転送行列 $(u(k),u(k-1))\mapsto(u(k+1),u(k))$ を $k=1,\dots,n$ と掛けたものです。$\det A^E=1$ で、Frobenius ノルムで押さえて $\|A^E(x)\|\le|E|+|x_1|+2$、また $2\times2$ で行列式 $1$ の行列は $\|M^{-1}\|=\|M\|$ を満たす（次節の 補題 4.1）ので仮定が成り立ちます。Bernoulli シフトはエルゴード的（命題 3.10［エルゴード定理］）なので、各 $E$ について、ほとんどすべてのポテンシャルの実現で $\frac1n\log\|A^E_n\|$ は定数 $L(E)$ に収束します。

例 3.5（ほぼ Mathieu 作用素の転送行列）

Harper 模型とほぼ Mathieu 作用素 の転送行列（定義 5.1［Harper 模型とほぼ Mathieu 作用素］）は、円の回転 $R_\alpha$ の上の $SL(2,\mathbb{R})$ コサイクルで、$\|A^E(\theta)\|\le|E|+2\lambda+1$ は有界です。そこで定義された $L(E)=\lim_na_n(E)/n$ は上の $L$ と同じもので、$\alpha$ が無理数なら $R_\alpha$ はエルゴード的（定理 3.7［エルゴード定理］）なので、定理 3.2 から、ほとんどすべての $\theta$ で $\frac1n\log\|A_n^E(\theta)\|\to L(E)$ です。

4. SL(2,ℝ) コサイクルの Oseledets の定理

Furstenberg–Kesten の定理は「最も速く伸びる方向」の成長率しか言いません。行列式が $1$ の $2\times2$ 行列の積では、伸びる方向があれば縮む方向もあるはずです。縮む方向が時間 $n$ によらず 1 本に定まることが、この節の主題です。

補題 4.1（SL(2,ℝ) の行列の特異値）✓

$M\in SL(2,\mathbb{R})$（実行列で $\det M=1$）とし、$\sigma=\|M\|$ とする。

1. 実の正規直交基底 $s,t$ が存在して、すべての $a,b\in\mathbb{C}$ で $\|M(as+bt)\|^2=|a|^2\sigma^{-2}+|b|^2\sigma^2$。特に $\sigma\ge1$ で、すべての $v$ で $\|Mv\|\ge\sigma^{-1}\|v\|$。
2. $\|M^{-1}\|=\|M\|$。

証明（補題 4.1）

1。$M^{\mathsf{T}}M$ は実対称で正定値なので、実対称行列の直交対角化（系 4.3［スペクトル定理］）により実の正規直交固有ベクトル $s,t$ と固有値 $0<\rho_1\le\rho_2$ があります。$\rho_1\rho_2=\det(M^{\mathsf{T}}M)=1$ です。$\mathbb{C}^2$ の内積で $\|M(as+bt)\|^2=\langle as+bt,M^{\mathsf{T}}M(as+bt)\rangle=|a|^2\rho_1+|b|^2\rho_2$（$s\perp t$ なので交差項は消える）です。単位ベクトルについての最大値は $\rho_2$ なので $\sigma^2=\rho_2$、$\rho_1=\sigma^{-2}$ です。$\rho_2\ge\rho_1$ と $\rho_1\rho_2=1$ から $\sigma\ge1$、最小値が $\sigma^{-2}$ なので後半が従います。

2。$J=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ とすると、余因子行列の公式から $M^{-1}=JM^{\mathsf{T}}J^{-1}$ です。$J$ は直交行列でノルムを変えず、実行列では $M^{\mathsf{T}}=M^*$ なので $\|M^{\mathsf{T}}\|=\|M\|$（命題 3.3［有界作用素と共役作用素］ の 2）です。

∎

1 の $s$ を最も縮む方向、$t$ を最も伸びる方向と呼びます（$M$ の右特異ベクトル。定理 4.1［行列の分解と標準形］ の実行列の場合です）。$s$ は符号を除いて決まります（$\sigma>1$ のとき）。

次の補題は確率を含まない、行列の列についての主張です。証明の流れは、(i) 隣り合う $s_n$ の差が指数的に小さいことを示し、(ii) 総和可能性から $s_n$ が収束することを導き、(iii) 極限 $s$ が実際に縮むことと、他の方向が伸びることを確かめる、の順です。成長率が一定で隣り合う比が指数的に大きくならなければ、各 $M_n$ の「最も縮む方向」$s_n$ は急速に収束し、その極限の方向が実際に指数的に縮みます。

補題 4.2（決定論的な Oseledets の補題）✓

$M_n\in SL(2,\mathbb{R})$（$n\ge1$）が、ある $\gamma>0$ について

$$\lim_{n\to\infty}\frac1n\log\|M_n\|=\gamma,\qquad\lim_{n\to\infty}\frac1n\log\|M_{n+1}M_n^{-1}\|=0$$

を満たすとする。このとき実の単位ベクトル $s$ が存在して

1. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\log\|M_ns\|=-\gamma$、
2. $v\in\mathbb{C}^2\setminus\mathbb{C}s$ ならば $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\log\|M_nv\|=\gamma$。

特に $\limsup_n\frac1n\log\|M_nv\|<\gamma$ となる $v$ の全体は 1 次元部分空間 $\mathbb{C}s$ である。

証明（補題 4.2）

$\sigma_n=\|M_n\|$ とし、補題 4.1 の 1 の実正規直交基底を $s_n,t_n$（$\|M_ns_n\|=\sigma_n^{-1}$、$\|M_nt_n\|=\sigma_n$）とします。$B_n=M_{n+1}M_n^{-1}\in SL(2,\mathbb{R})$ とおくと、補題 4.1 の 2 から $\|B_n^{-1}\|=\|B_n\|$ です。

$0<\varepsilon<\gamma/4$ を固定します。仮定から $n_0$ があって、$n\ge n_0$ で

$$e^{n(\gamma-\varepsilon)}\le\sigma_n\le e^{n(\gamma+\varepsilon)},\qquad\|B_n\|\le e^{n\varepsilon}$$

です。

$s_n$ の収束。 $s_{n+1}$ の符号を $\langle s_{n+1},s_n\rangle\ge0$ となるように選び、$s_{n+1}=cs_n+dt_n$（$c\ge0$、$c^2+d^2=1$）と書きます。補題 4.1 の 1 から $\|M_ns_{n+1}\|\ge|d|\sigma_n$、一方 $M_n=B_n^{-1}M_{n+1}$ から $\|M_ns_{n+1}\|\le\|B_n\|\sigma_{n+1}^{-1}$ なので、$n\ge n_0$ で

$$|d|\le\frac{\|B_n\|}{\sigma_n\sigma_{n+1}}\le e^{n\varepsilon-n(\gamma-\varepsilon)-(n+1)(\gamma-\varepsilon)}\le e^{-n(2\gamma-3\varepsilon)}$$

です。$0\le c\le1$ から $\|s_{n+1}-s_n\|^2=(1-c)^2+d^2=2(1-c)\le2(1-c^2)=2d^2$ なので、$\|s_{n+1}-s_n\|\le\sqrt2e^{-n(2\gamma-3\varepsilon)}$ です。これは総和可能なので $s_n$ は単位ベクトル $s$ に収束し、等比級数の和から定数 $C_\varepsilon$ について

$$\|s-s_n\|\le\sum_{k\ge n}\sqrt2e^{-k(2\gamma-3\varepsilon)}=C_\varepsilon e^{-n(2\gamma-3\varepsilon)}\qquad(n\ge n_0)$$

です。

1 の証明。 三角不等式から

$$\|M_ns\|\le\|M_ns_n\|+\|M_n\|\|s-s_n\|\le e^{-n(\gamma-\varepsilon)}+C_\varepsilon e^{n(\gamma+\varepsilon)}e^{-n(2\gamma-3\varepsilon)}\le(1+C_\varepsilon)e^{-n(\gamma-4\varepsilon)}$$

なので $\limsup_n\frac1n\log\|M_ns\|\le-\gamma+4\varepsilon$ です。一方 補題 4.1 の 1 から $\|M_ns\|\ge\sigma_n^{-1}$ で、$\liminf_n\frac1n\log\|M_ns\|\ge-\gamma$ です。$s$ は $\varepsilon$ によらない（$s_n$ の極限）ので、$\varepsilon\to0$ として 1 を得ます。

2 の証明。 $s^\perp$ を $s$ に直交する実の単位ベクトルとし、$v=as+bs^\perp$（$b\ne0$）と書きます。平面の単位ベクトルについて $|\langle s^\perp,t_n\rangle|=|\langle s,s_n\rangle|\to1$ なので、大きい $n$ で $\|M_ns^\perp\|\ge|\langle t_n,s^\perp\rangle|\sigma_n\ge\sigma_n/2$ です（補題 4.1 の 1 で $s^\perp=\langle s_n,s^\perp\rangle s_n+\langle t_n,s^\perp\rangle t_n$ と展開）。よって

$$\frac{|b|\sigma_n}2-|a|\,\|M_ns\|\le\|M_nv\|\le\sigma_n\|v\|$$

で、1 から $\|M_ns\|\to0$ なので、両辺の $\frac1n\log$ は $\gamma$ に収束します。

∎

定理 4.3（SL(2,ℝ) コサイクルの Oseledets の定理）✓

$(X,\mathcal{B},\mu,T)$ をエルゴード的な測度保存系、$A:X\to SL(2,\mathbb{R})$ を可測で $\log\|A\|\in L^1(\mu)$ とし、$L\ge0$ を 定理 3.2 の Lyapunov 指数とする。

1. $L>0$ なら、ほとんどすべての $x$ について実の単位ベクトル $s(x)$ が存在して、$\frac1n\log\|A_n(x)s(x)\|\to-L$、かつ $v\in\mathbb{C}^2\setminus\mathbb{C}s(x)$ なら $\frac1n\log\|A_n(x)v\|\to L$ である。さらにほとんどすべての $x$ で $A(x)s(x)\in\mathbb{R}s(Tx)$（方向の共変性）。
2. $L=0$ なら、ほとんどすべての $x$ とすべての $v\ne0$ で $\frac1n\log\|A_n(x)v\|\to0$ である。

証明（定理 4.3）

補題 4.1 から $\|A^{-1}\|=\|A\|\ge1$ なので $\log^+\|A\|=\log^+\|A^{-1}\|=\log\|A\|\in L^1$ で、定理 3.2 が使え、ほとんどすべての $x$ で $\frac1n\log\|A_n(x)\|\to L$ です。$\|A_n\|\ge1$ から $L\ge0$ です。

次に $f=\log\|A\|$ に Birkhoff の定理（定理 5.2［エルゴード定理］）を使うと、$\frac1nS_nf$ と $\frac1nS_{n+1}f=\frac{n+1}n\cdot\frac{S_{n+1}f}{n+1}$ は a.e. で同じ有限の極限をもつので、差 $\frac1nf(T^nx)\to0$ です。$M_n=A_n(x)$ とすると $M_{n+1}M_n^{-1}=A(T^nx)$ なので、$L>0$ ならこの $x$ で 補題 4.2 の仮定が成り立ち、1 の前半を得ます。

共変性：上の結論が $x$ と $Tx$ の両方で成り立つ点の集合は測度 $1$ です（$\mu(T^{-1}G)=\mu(G)$）。そのような $x$ で $A_n(Tx)A(x)s(x)=A_{n+1}(x)s(x)$ なので $\frac1n\log\|A_n(Tx)A(x)s(x)\|\to-L$、補題の最後の主張から $A(x)s(x)\in\mathbb{C}s(Tx)$ で、実ベクトルなので $\mathbb{R}s(Tx)$ に入ります。

$L=0$ なら、補題 4.1 の 1 から $\|A_n(x)\|^{-1}\|v\|\le\|A_n(x)v\|\le\|A_n(x)\|\|v\|$ で、両側の $\frac1n\log$ が $0$ に収束します。

∎

例 4.4（双曲型の定数行列）

$A=\begin{pmatrix}e^{\gamma}&0\\0&e^{-\gamma}\end{pmatrix}$（$\gamma>0$）なら $A_n=A^n$ で、$s=(0,1)$、$L=\gamma$ です。行列が $x$ によらなければ縮む方向は固有ベクトルですが、一般には「$s(x)$ は $A(x)$ の固有ベクトル」ではなく、未来の行列すべてで決まります。たとえば $A(x)$ が 2 つの双曲型行列をランダムに取る場合、$s(x)$ は列の未来の部分 $A(x),A(Tx),\dots$ の関数で、各行列の固有ベクトルとは一般に一致しません。

注意 4.5（一般の Oseledets の定理（主張のみ））

$d\times d$ の可逆行列のコサイクルで $\log^+\|A\|,\log^+\|A^{-1}\|\in L^1$、$T$ がエルゴード的なら、定数 $\lambda_1>\lambda_2>\dots>\lambda_k$（Lyapunov スペクトル）と、ほとんどすべての $x$ について部分空間の減少列 $\mathbb{R}^d=W_1(x)\supsetneq W_2(x)\supsetneq\dots\supsetneq W_{k+1}(x)=0$ があって、$v\in W_i(x)\setminus W_{i+1}(x)$ なら $\frac1n\log\|A_n(x)v\|\to\lambda_i$ が成り立ちます（Oseledets 1968）。$T$ が可逆なら、時間を逆向きにしたコサイクルと組み合わせて $\mathbb{R}^d$ を各指数の部分空間の直和に分けられます。$SL(2,\mathbb{R})$ で $L>0$ の場合は $\lambda_1=L$、$\lambda_2=-L$、$W_2(x)=\mathbb{R}s(x)$ で、定理 4.3 はこの特別な場合です。一般の場合の証明は、外積 $\wedge^jA$ に Furstenberg–Kesten の定理を使って $\lambda_1+\dots+\lambda_j$ を得るところから始まり、補題 4.2 と同じ「特異ベクトルの急速な収束」の議論を高次元で行います（Ruelle 1979、Viana の講義録 第 4 章）。

5. 1 次元 Schrödinger 方程式への応用

例 3.4 や 例 3.5 のように、方程式 $u(n+1)+u(n-1)+V(n)u(n)=Eu(n)$ の解は $(u(n),u(n-1))^{\mathsf{T}}=M_n(u(0),u(-1))^{\mathsf{T}}$ と転送行列 $M_n\in SL(2,\mathbb{R})$ で書けます。

系 5.1（指数的に減衰する解）✓

有界な実数列 $V$ と $E\in\mathbb{R}$ について、正の向きの転送行列 $M_n$ が $\frac1n\log\|M_n\|\to\gamma>0$ を満たすとする。このとき、方程式の解のうち $n\to+\infty$ で $\frac1n\log\|(u(n),u(n-1))\|\to-\gamma$ となるものは定数倍を除いてただ 1 つで、それ以外の解（$0$ を除く）はすべて $\frac1n\log\|(u(n),u(n-1))\|\to\gamma$ を満たす。特に、多項式的に有界な解（$|u(n)|\le C(1+n)^N$）は、存在すれば $n\to+\infty$ で指数的に減衰する。

証明（系 5.1）

$M_{n+1}M_n^{-1}=\begin{pmatrix}E-V(n)&-1\\1&0\end{pmatrix}$ のノルムは $|E|+\sup|V|+2$ 以下で有界なので、補題 4.2 の仮定が成り立ちます。解は初期値 $v=(u(0),u(-1))$ で決まり $(u(n),u(n-1))=M_nv$ なので、補題の 1・2 がそのまま前半です。多項式的に有界な解では $\frac1n\log\|M_nv\|$ の上極限が $0<\gamma$ なので、補題の最後の主張から $v\in\mathbb{C}s$ で、1 から指数的に減衰します。

∎

これと「スペクトル測度のほとんどすべてのエネルギーに多項式的に有界な一般化固有関数がある」ことを組み合わせると、Lyapunov 指数が正のエネルギーの集合には絶対連続スペクトルが無いこと（Ishii–Pastur の定理）が従います。その証明は Harper 模型とほぼ Mathieu 作用素 で、ほぼ Mathieu 作用素の $\lambda>1$ の場合に行います。

6. 演習

演習 6.1易

$X_1,X_2,\dots$ を独立同分布で $E[|X_1|]<\infty$ の実確率変数とし、$A_n=\mathrm{diag}(e^{X_n},e^{-X_n})\cdots\mathrm{diag}(e^{X_1},e^{-X_1})$ とします。$\frac1n\log\|A_n\|$ の a.s. 極限を求め、$E[X_1]=0$ のときの結果を解釈してください。

解答

$A_n=\mathrm{diag}(e^{S_n},e^{-S_n})$（$S_n=X_1+\dots+X_n$）で、$\|A_n\|=e^{|S_n|}$ です。大数の強法則（系 5.4［エルゴード定理］）から $\frac1n\log\|A_n\|=|S_n/n|\to|E[X_1]|$ a.s. です。$E[X_1]=0$ なら $L=0$ ですが、$X_1$ が恒等的に $0$ でなければ、中心極限定理から $|S_n|$ は $\sqrt n$ 程度の大きさで揺らぎ、$\|A_n\|$ 自体は有界になりません。可換な行列の積では Lyapunov 指数は単に対数の平均で、非可換性が無いと「ランダムさが指数的成長を生む」現象（Furstenberg の定理）は起きません。

演習 6.2標準

補題 4.2 で 2 つ目の仮定 $\frac1n\log\|M_{n+1}M_n^{-1}\|\to0$ を外すと結論が成り立たないことを、$D_n=\mathrm{diag}(e^{n\gamma},e^{-n\gamma})$ と 90° 回転 $R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ を使い、$M_n=D_n$（$n$ が偶数）、$M_n=D_nR$（$n$ が奇数）として確かめてください。

解答

$\|M_n\|=e^{n\gamma}$ なので 1 つ目の仮定は成り立ちます。$v=(a,b)$ について、$n$ が偶数なら $M_nv=(e^{n\gamma}a,e^{-n\gamma}b)$、奇数なら $Rv=(-b,a)$ なので $M_nv=(-e^{n\gamma}b,e^{-n\gamma}a)$ です。$a,b$ がともに $0$ でなければ $\|M_nv\|$ は常に $e^{n\gamma}$ 程度で縮みません。$v=(0,1)$ なら偶数の $n$ で $e^{-n\gamma}$ に縮み、奇数の $n$ で $e^{n\gamma}$ に伸び、$v=(1,0)$ はその逆です。どのベクトルについても $\frac1n\log\|M_nv\|\to-\gamma$ は成り立ちません。実際 $M_{n+1}M_n^{-1}$ は $D_{n+1}RD_n^{-1}$ などで、ノルムは $e^{(2n+1)\gamma}$ 程度と指数的に大きく、2 つ目の仮定が破れています。

演習 6.3標準

$V=0$（自由な Laplacian）の転送行列 $A^E=\begin{pmatrix}E&-1\\1&0\end{pmatrix}$ について、$|E|>2$ のとき減衰方向 $s$ を具体的に求め、系 5.1 の減衰する解が $u(n)=\mu_-^n$（$\mu_-$ は $\mu^2-E\mu+1=0$ の絶対値の小さい根）であることを確かめてください。

解答

$A^E$ の固有値は $\mu^2-E\mu+1=0$ の根 $\mu_\pm$ で、$|E|>2$ なら実数で $|\mu_-|<1<|\mu_+|$、$\mu_+\mu_-=1$ です。$\mu_-$ の固有ベクトルは $(\mu_-,1)$ で、$A^E(\mu_-,1)^{\mathsf{T}}=(E\mu_--1,\mu_-)^{\mathsf{T}}=(\mu_-^2,\mu_-)^{\mathsf{T}}$ です。よって $(A^E)^n(\mu_-,1)^{\mathsf{T}}=\mu_-^n(\mu_-,1)^{\mathsf{T}}$ で $\frac1n\log\|\cdot\|\to\log|\mu_-|=-\log|\mu_+|$ です。例 3.3 から $L=\log r(A^E)=\log|\mu_+|$ なので、これが補題の $s$（正規化した $(\mu_-,1)$）です。初期値 $(u(0),u(-1))=(1,\mu_-^{-1})$ に対応する解は $u(n)=\mu_-^n$ で、実際 $\mu_-^{n+1}+\mu_-^{n-1}=E\mu_-^n$ は $\mu_-^2+1=E\mu_-$ と同値です。

参考文献

• J. F. C. Kingman, “The ergodic theory of subadditive stochastic processes”, J. Roy. Statist. Soc. Ser. B 30 (1968), 499–510.
• J. M. Steele, “Kingman’s subadditive ergodic theorem”, Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 25 (1989), 93–98.
• H. Furstenberg, H. Kesten, “Products of random matrices”, Ann. Math. Statist. 31 (1960), 457–469.
• V. I. Oseledets, “A multiplicative ergodic theorem. Lyapunov characteristic numbers for dynamical systems”, Trans. Moscow Math. Soc. 19 (1968), 197–231.
• M. Viana, Lectures on Lyapunov Exponents, Cambridge University Press, 2014 — 第 3・4 章。
• P. Bougerol, J. Lacroix, Products of Random Matrices with Application to Schrödinger Operators, Birkhäuser, 1985 — 第 I 部。