# 劣加法エルゴード定理と Lyapunov 指数：Kingman・Furstenberg–Kesten・Oseledets > Kingman の劣加法エルゴード定理を Steele の被覆の議論で証明し、行列積のノルムの成長率に関する Furstenberg–Kesten の定理を導く。SL(2,R) コサイクルでは指数が正なら減衰方向がちょうど 1 つあること（Oseledets）を示す。 > https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/probability/subadditive-ergodic-lyapunov ## 0. この記事の要点長い道のりを前半と後半に分けて進むとき、全体の所要時間は、近道があるかもしれないので、前半と後半の所要時間の和以下になります。このように「分けた部分の和で上から押さえられる量」を長く続けると、1 区間あたりの平均がほぼ一定の値に落ち着く、というのが Kingman の定理です。行列を何度も掛けたとき、結果の大きさが 1 回あたりどれだけの割合で伸びるかを調べるのに使います。この記事を読むと、その伸び率（Lyapunov 指数）が存在することの証明と、縮む方向が 1 つに決まる理由が分かります。 - 確率変数の列 $g_n$ が $g_{n+m}\le g_n+g_m\circ T^n$ を満たすとき（**劣加法的コサイクル**。$g_n$ は時刻 $0$ から $n$ までに「かかった量」、$g_m\circ T^n$ は時刻 $n$ から $m$ だけ進む間の量を表す）、[測度保存系](/mathematics/probability/ergodic-theorems#def-mps)の上で $g_n/n$ はほとんど至る所収束します（**Kingman の劣加法エルゴード定理**）。数列についての Fekete の補題と、和についての Birkhoff の定理の共通の一般化です。 - 証明は Steele（1989）の方法で行います。Birkhoff の定理で加法的な部分を取り除いて $g_n\le0$ に帰着し、「早めに平均が下がる時刻」で $[0,n)$ を貪欲に区切ります。 - 行列値関数 $A$ の積 $A_n(x)=A(T^{n-1}x)\cdots A(x)$ について、$\log\|A_n\|$ は劣加法的なので、$\frac1n\log\|A_n(x)\|$ は a.e. で **Lyapunov 指数** $L$ に収束します（**Furstenberg–Kesten の定理**）。 - $SL(2,\mathbb{R})$ に値をとるエルゴード的なコサイクルで $L>0$ なら、ほとんどすべての $x$ でベクトル $v$ の方向がちょうど 1 つあって $\|A_n(x)v\|$ は $e^{-nL}$ の速さで減衰し、それ以外の方向は $e^{nL}$ で増大します（**Oseledets の定理**の 2 次元版）。鍵は、ノルムの成長率だけから減衰方向を構成する決定論的な補題です。 - これらは 1 次元の Schrödinger 作用素の転送行列に使われ、Ishii–Pastur の定理（Lyapunov 指数が正のエネルギーに絶対連続スペクトルは無い）の証明の材料になります。

- **測度保存系**: 空間 $X$ と、測度を変えない写像 $T$ の組。時間発展を表すモデルです。→ [測度保存系](/mathematics/probability/ergodic-theorems#def-mps) - **エルゴード的**: 不変な集合が測度 $0$ か $1$ に限られる、という性質。時間平均が定数になります。→ [エルゴード定理](/mathematics/probability/ergodic-theorems) - **Birkhoff の定理**: 測度保存系の上で、時間平均 $\frac1n\sum_{k ## 1. 動機確率変数の和 $X_1+\dots+X_n$ に対する大数の法則を、積 $Y_n\cdots Y_1$ に拡げることを考えます。$Y_k$ が正の実数なら対数を取って和に戻せますが、$Y_k$ が行列だと $\log$ は積を和に変えません。それでもノルムについては $\|Y_{n+m}\cdots Y_1\|\le\|Y_{n+m}\cdots Y_{n+1}\|\,\|Y_n\cdots Y_1\|$ が成り立つので、対数を取ると**劣加法性**が残ります。数列の場合、劣加法的な $a_{n+m}\le a_n+a_m$ に対して $a_n/n$ が収束することは Fekete の補題（）です。Kingman（1968）はこれを測度保存系の上の確率変数の列に拡げ、Birkhoff の定理（）と Fekete の補題を 1 つにまとめました。Furstenberg と Kesten（1960）はそれ以前に、独立な乱行列の積のノルムの成長率を調べていました。応用の典型は 1 次元の離散 Schrödinger 方程式 $u(n+1)+u(n-1)+V(n)u(n)=Eu(n)$ です。解は 2×2 の転送行列（隣り合う 2 点での解の値から、1 つ先の 2 点での値を作る行列）の積で書け、その成長率（Lyapunov 指数）がスペクトルの型を決めます。[Harper 模型とほぼ Mathieu 作用素](/mathematics/spectral-scattering/harper-almost-mathieu) では、位相についての平均 $\int\log\|A_n\|$ だけを Fekete の補題で扱いました。この章の定理は、個々の位相での成長率と、減衰する解の存在を与えます。 ## 2. Kingman の劣加法エルゴード定理以下 $(X,\mathcal{B},\mu,T)$ は測度保存系（）、$\mathcal{I}$ は不変 σ-加法族、$S_nf=\sum_{k 可積分な実数値関数の列 $g_n\in L^1(\mu)$（$n\ge1$）が、ほとんどすべての $x$ で $$ g_{n+m}(x)\le g_n(x)+g_m(T^nx)\qquad(\text{すべての }n,m\ge1) $$ を満たすとき、$(g_n)$ を**劣加法的コサイクル**という。等号が成り立つものを**加法的コサイクル**という。加法的コサイクルは $g_n=S_ng_1$ の形のものに限ります（$m=1$ として帰納法）。Birkhoff の定理はこの場合の主張です。不等式の意味は、区間 $[0,n+m)$ を $[0,n)$ と $[n,n+m)$ に分けて見ると分かります。たとえば $g_n=S_nf$ なら、$S_{n+m}f(x)$ は最初の $n$ 項の和 $S_nf(x)$ と、残りの $m$ 項の和の合計で、残りの和は $T^nx$ から数え始めた $S_mf(T^nx)$ にちょうど等しくなります。コサイクルの条件は、この等式を「$\le$」に弱めたものです。

劣加法的コサイクルについて $\gamma_n=\int g_n\,d\mu$ は劣加法的で、$\gamma=\lim_n\gamma_n/n=\inf_n\gamma_n/n\in[-\infty,\infty)$ が存在する。定義の不等式を積分し、$\int g_m\circ T^n\,d\mu=\int g_m\,d\mu$（の 2）を使うと $\gamma_{n+m}\le\gamma_n+\gamma_m$ です。あとは Fekete の補題（）です。 $h:X\to[-\infty,\infty]$ が可測で、ほとんどすべての $x$ で $h(x)\le h(Tx)$ を満たすなら、$h\circ T=h$ a.e. である。有理数 $c$ について $A_c=\{h>c\}$ とおくと、仮定から $A_c\setminus T^{-1}A_c=\{h>c\ge h\circ T\}$ は零集合です。$\mu(T^{-1}A_c)=\mu(A_c)$ なので $$ \mu(T^{-1}A_c\setminus A_c)=\mu(T^{-1}A_c)-\mu(T^{-1}A_c\cap A_c)=\mu(A_c)-\mu(T^{-1}A_c\cap A_c)=\mu(A_c\setminus T^{-1}A_c)=0 $$ です。$h(x) $(g_n)$ を測度保存系の上の劣加法的コサイクルとし、$\gamma$ をの値とする。可測関数 $g:X\to[-\infty,\infty)$ が存在して次が成り立つ。 1. ほとんどすべての $x$ で $g_n(x)/n\to g(x)$。 2. $g\circ T=g$ a.e.、$g^+\in L^1(\mu)$、$\int g\,d\mu=\gamma$（両辺が $-\infty$ の場合を含む）。 3. $T$ がエルゴード的なら $g=\gamma$ a.e. である。証明の前に、具体的な場合を 2 つ見ておきます。 (a) $X$ が 1 点なら $g_n$ は数列で、定理は Fekete の補題そのものです。 (b) $g_n=S_nf$（$f\in L^1$）なら加法的で、定理はの 1・4 です。証明ではこの場合を逆に使います。次の証明の見取り図です。まず Birkhoff の定理で加法的な部分を引き、$g_n\le0$ の場合に直します。そのうえで、$g_n/n$ の下極限（長く見たときの平均の最小の落ち着き先）を $-M$ で下から打ち切ったものを $G$ とします。長さ $n$ の区間を、「平均が $G$ に近い値まで下がる」良いブロックでできるだけ埋めます。うまく下がらない時刻（$B_N$ に入る時刻）は長さ $1$ のブロックで埋め、そのような時刻の割合は Birkhoff の定理で小さいと分かります。$G,\varepsilon,M,N$ は、この見積もりを精密にするための道具で、最後に $\varepsilon\to0$、$M\to\infty$ とします。 **加法的な部分の除去。** $h_n=S_ng_1$ とし $g'_n=g_n-h_n$ とおきます。$h_n$ は加法的なので $g'_n$ も劣加法的コサイクルで、$g'_1=0$ です。$m=1$ の不等式を繰り返して $g'_n\le\sum_{k）から $h_n/n\to E[g_1\mid\mathcal{I}]$ a.e. で、これは有限・可積分・不変、積分は $\int g_1$ です。また $\int g'_n=\gamma_n-n\int g_1$ です。したがって $g'_n$ について定理を示せば、$g=g'+E[g_1\mid\mathcal{I}]$ として元の主張が従います（$g^+\le(E[g_1\mid\mathcal{I}])^+$ は $g'\le0$ から）。以下 $g'_n$ を改めて $g_n$ と書き、$g_n\le0$、$g_1=0$ を仮定します。劣加法性の不等式がすべての $n,m$ で成り立つ点の集合を $Y$ とすると $\mu(Y)=1$ です。 **下極限の不変性。** $\underline g=\liminf_ng_n/n\in[-\infty,0]$ とおきます。$g_{n+1}(x)\le g_1(x)+g_n(Tx)=g_n(Tx)$ から $$ \frac{g_{n+1}(x)}{n+1}\le\frac n{n+1}\cdot\frac{g_n(Tx)}n $$ で、下極限を取ると（値は $0$ 以下）$\underline g(x)\le\underline g(Tx)$ です。から $\underline g\circ T=\underline g$ a.e. です。 **被覆による上からの評価（Steele）。** $\varepsilon>0$、$M>0$ を固定し、$G=\max(\underline g,-M)$ とおきます。$G$ は不変（a.e.）で $-M\le G\le0$ です。$X_0$ を、すべての $k\ge0$ で $T^kx\in Y$ かつ $G(T^kx)=G(x)$ となる $x$ の集合とすると、$X_0$ は測度 $1$ の集合の可算個の共通部分（$\mu(T^{-k}Y)=\mu(Y)=1$）なので $\mu(X_0)=1$ です。 $$ \tau(x)=\min\{n\ge1:g_n(x)\le n(G(x)+\varepsilon)\} $$ とおきます。$\underline gN\}$ とおくと、$B_N$ は $N$ について減少し共通部分は空です。 $x\in X_0$ と $n>N$ を固定し、$[0,n)$ を次のように区切ります。$k=0$ から始めて、$T^kx\notin B_N$ かつ $k+\tau(T^kx)\le n$ なら長さ $\tau(T^kx)$ の「良いブロック」$[k,k+\tau(T^kx))$ を取って $k$ をその右端に進め、そうでなければ長さ $1$ の「単独ブロック」$[k,k+1)$ を取って $k$ を $1$ 進めます。$T^kx\notin B_N$ なら $\tau(T^kx)\le N$ なので、単独ブロックの左端 $k$ は $T^kx\in B_N$ か $k>n-N$ のどちらかを満たします。劣加法性を区切りに沿って繰り返し使うと、$g_n(x)$ はブロックごとの $g_{\text{長さ}}(T^{\text{左端}}x)$ の和以下です。良いブロックでは $g_\tau(T^kx)\le\tau(T^kx)\,(G(T^kx)+\varepsilon)=\tau(T^kx)(G(x)+\varepsilon)$、単独ブロックでは $g_1=0$ です。良いブロックの長さの合計を $\ell$ とすると、$n-\ell\le\#\{k の 2）から $\varphi_N\ge0$ は $N$ について a.e. で減少し、極限 $\varphi\ge0$ は $\int\varphi\le\int\varphi_N=\mu(B_N)\to0$（測度の連続性）を満たすので $\varphi=0$ a.e. です。よって $\bar g\le G+\varepsilon$ a.e. です。$\varepsilon=1/j\to0$、$M=j\to\infty$ と可算個の値で動かすと、$\underline g>-\infty$ の点では $\bar g\le\underline g$、$\underline g=-\infty$ の点では $\bar g\le-M$ がすべての $M$ で成り立ち $\bar g=-\infty$ です。したがって $g=\lim g_n/n$ が a.e. で $[-\infty,0]$ の中に存在し、$g=\underline g$ は不変です。 **積分。** $-g_n/n\ge0$ に Fatou の補題（）を使うと $\int(-g)\le\liminf_n\int(-g_n/n)=-\gamma$、すなわち $\int g\ge\gamma$ です。逆向きは $m\ge1$ を固定し、劣加法性を長さ $m$ のブロックに使って $$ g_{km}(x)\le\sum_{j=0}^{k-1}g_m(T^{jm}x) $$ とします。$T^m$ も $\mu$ を保つので、Birkhoff の定理を $T^m$ と $g_m$ に使うと右辺を $k$ で割ったものは a.e. で $\psi_m$ に収束し、$\int\psi_m=\int g_m$ です。左辺を $km$ で割った極限は $g$ なので $g\le\psi_m/m$ a.e.、よって $\int g\le\gamma_m/m$ です。$m$ について下限を取って $\int g\le\gamma$ です。 **エルゴード的な場合。** $e^g\in[0,1]$ は不変なので、の 3 から a.e. で定数、したがって $g$ も a.e. で定数（$-\infty$ を含む）で、2 からその値は $\gamma$ です。 $\gamma>-\infty$ なら $g_n/n\to g$ は $L^1$ でも成り立ちます（$g_n\le0$ に帰着した後、$\int g_n/n\to\gamma=\int g$ と各点収束から、Scheffé 型の議論で従います）。また仮定は $g_1^+\in L^1$ だけに弱められます。この記事の応用では使わないので、証明は省きます。 - **最初到達時間浸透**：$\mathbb{Z}^2$ の辺に独立同分布の非負の通過時間を置き、原点から $(n,0)$ までの最短通過時間を $t_{0,n}$ とすると、$t_{0,n+m}\le t_{0,n}+t_{n,n+m}$ です。$t_{n,n+m}$ は $t_{0,m}$ を $(n,0)$ だけ平行移動したものなので、辺の重みの空間の上の平行移動（Bernoulli シフトと同様に混合的）を測度保存系とみなすと、通過時間が可積分なら $t_{0,n}/n$ は a.s. で定数（時定数）に収束します。Hammersley と Welsh が導入したこの問題が、Kingman の定理の動機の一つでした。 - **行列積のノルム**：次節の $\log\|A_n\|$ です。

## 3. Furstenberg–Kesten の定理測度保存系 $(X,\mathcal{B},\mu,T)$ と可測写像 $A:X\to GL(d,\mathbb{R})$ について $$ A_n(x)=A(T^{n-1}x)\cdots A(Tx)A(x)\quad(n\ge1),\qquad A_0(x)=I $$ とおき、組 $(T,A)$ を**行列コサイクル**という。$\|\cdot\|$ は $\mathbb{C}^d$ の Euclid ノルムに関する作用素ノルムとする。$A_{n+m}(x)=A_m(T^nx)A_n(x)$ が成り立つ。極限 $$ L=\lim_{n\to\infty}\frac1n\int_X\log\|A_n(x)\|\,d\mu(x) $$ が存在するとき、これを（最大）**Lyapunov 指数**という。 $\log^+t=\max(\log t,0)$ と書きます。 $(T,A)$ を行列コサイクルとし、$\log^+\|A\|$ と $\log^+\|A^{-1}\|$ が $L^1(\mu)$ に属するとする。このとき $L$ は存在して有限で、$L=\inf_n\frac1n\int\log\|A_n\|\,d\mu$ であり、ほとんどすべての $x$ で $$ \lim_{n\to\infty}\frac1n\log\|A_n(x)\|=\lambda(x) $$ が存在する。$\lambda$ は不変、可積分で $\int\lambda\,d\mu=L$。$T$ がエルゴード的なら $\lambda=L$ a.e. である。 $g_n(x)=\log\|A_n(x)\|$ とおきます。行列の成分は $x$ の可測関数でノルムは連続なので、$g_n$ は可測です。作用素ノルムの劣乗法性 $\|PQ\|\le\|P\|\|Q\|$ とコサイクルの等式から $$ g_{n+m}(x)=\log\|A_m(T^nx)A_n(x)\|\le g_n(x)+g_m(T^nx) $$ で、$(g_n)$ は劣加法的です。可積分性：$g_n\le\sum_{k により可積分なので $g_n\in L^1$ です。Kingman の定理（）から $g_n/n\to\lambda$ a.e.、$\lambda$ は不変で $\int\lambda=\gamma=L$、エルゴード的なら $\lambda=L$ です。下からの評価を積分して $\gamma_n/n\ge-\int\log^+\|A^{-1}\|$ なので $L>-\infty$、Birkhoff の定理を右辺に使えば $\lambda\ge-E[\log^+\|A^{-1}\|\mid\mathcal{I}]$ a.e. です。右辺は可積分で、Kingman の定理の 2 から $\lambda^+$ も可積分なので、$\lambda$ は可積分です。 $A(x)=A$ が定数なら $\|A^n\|^{1/n}$ はスペクトル半径 $r(A)$ に収束し（Gelfand の公式、）、$L=\log r(A)$ です。$A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ では $\|A^n\|$ は $n$ 程度に増えますが $L=0$ です。Lyapunov 指数は指数的な成長しか見ません。 $\nu$ を $\int\log(1+|v|)\,d\nu(v)<\infty$ を満たす $\mathbb{R}$ 上の確率測度、$(\mathbb{R}^{\mathbb{N}},P,\sigma)$ を Bernoulli シフト（）とします。$E\in\mathbb{R}$ について $$ A^E(x)=\begin{pmatrix}E-x_1&-1\\1&0\end{pmatrix} $$ とおくと、$A^E_n(x)$ は独立同分布のポテンシャル $V(k)=x_k$ をもつ方程式 $u(k+1)+u(k-1)+V(k)u(k)=Eu(k)$ の転送行列 $(u(k),u(k-1))\mapsto(u(k+1),u(k))$ を $k=1,\dots,n$ と掛けたものです。$\det A^E=1$ で、Frobenius ノルムで押さえて $\|A^E(x)\|\le|E|+|x_1|+2$、また $2\times2$ で行列式 $1$ の行列は $\|M^{-1}\|=\|M\|$ を満たす（次節の）ので仮定が成り立ちます。Bernoulli シフトはエルゴード的（）なので、各 $E$ について、ほとんどすべてのポテンシャルの実現で $\frac1n\log\|A^E_n\|$ は定数 $L(E)$ に収束します。 [Harper 模型とほぼ Mathieu 作用素](/mathematics/spectral-scattering/harper-almost-mathieu) の転送行列（）は、円の回転 $R_\alpha$ の上の $SL(2,\mathbb{R})$ コサイクルで、$\|A^E(\theta)\|\le|E|+2\lambda+1$ は有界です。そこで定義された $L(E)=\lim_na_n(E)/n$ は上の $L$ と同じもので、$\alpha$ が無理数なら $R_\alpha$ はエルゴード的（）なので、から、ほとんどすべての $\theta$ で $\frac1n\log\|A_n^E(\theta)\|\to L(E)$ です。 ## 4. SL(2,ℝ) コサイクルの Oseledets の定理 Furstenberg–Kesten の定理は「最も速く伸びる方向」の成長率しか言いません。行列式が $1$ の $2\times2$ 行列の積では、伸びる方向があれば縮む方向もあるはずです。縮む方向が時間 $n$ によらず 1 本に定まることが、この節の主題です。 $M\in SL(2,\mathbb{R})$（実行列で $\det M=1$）とし、$\sigma=\|M\|$ とする。 1. 実の正規直交基底 $s,t$ が存在して、すべての $a,b\in\mathbb{C}$ で $\|M(as+bt)\|^2=|a|^2\sigma^{-2}+|b|^2\sigma^2$。特に $\sigma\ge1$ で、すべての $v$ で $\|Mv\|\ge\sigma^{-1}\|v\|$。 2. $\|M^{-1}\|=\|M\|$。 1。$M^{\mathsf{T}}M$ は実対称で正定値なので、実対称行列の直交対角化（）により実の正規直交固有ベクトル $s,t$ と固有値 $0<\rho_1\le\rho_2$ があります。$\rho_1\rho_2=\det(M^{\mathsf{T}}M)=1$ です。$\mathbb{C}^2$ の内積で $\|M(as+bt)\|^2=\langle as+bt,M^{\mathsf{T}}M(as+bt)\rangle=|a|^2\rho_1+|b|^2\rho_2$（$s\perp t$ なので交差項は消える）です。単位ベクトルについての最大値は $\rho_2$ なので $\sigma^2=\rho_2$、$\rho_1=\sigma^{-2}$ です。$\rho_2\ge\rho_1$ と $\rho_1\rho_2=1$ から $\sigma\ge1$、最小値が $\sigma^{-2}$ なので後半が従います。 2。$J=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ とすると、余因子行列の公式から $M^{-1}=JM^{\mathsf{T}}J^{-1}$ です。$J$ は直交行列でノルムを変えず、実行列では $M^{\mathsf{T}}=M^*$ なので $\|M^{\mathsf{T}}\|=\|M\|$（の 2）です。 1 の $s$ を最も縮む方向、$t$ を最も伸びる方向と呼びます（$M$ の右特異ベクトル。の実行列の場合です）。$s$ は符号を除いて決まります（$\sigma>1$ のとき）。次の補題は確率を含まない、行列の列についての主張です。証明の流れは、(i) 隣り合う $s_n$ の差が指数的に小さいことを示し、(ii) 総和可能性から $s_n$ が収束することを導き、(iii) 極限 $s$ が実際に縮むことと、他の方向が伸びることを確かめる、の順です。成長率が一定で隣り合う比が指数的に大きくならなければ、各 $M_n$ の「最も縮む方向」$s_n$ は急速に収束し、その極限の方向が実際に指数的に縮みます。 $M_n\in SL(2,\mathbb{R})$（$n\ge1$）が、ある $\gamma>0$ について $$ \lim_{n\to\infty}\frac1n\log\|M_n\|=\gamma,\qquad\lim_{n\to\infty}\frac1n\log\|M_{n+1}M_n^{-1}\|=0 $$ を満たすとする。このとき実の単位ベクトル $s$ が存在して 1. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\log\|M_ns\|=-\gamma$、 2. $v\in\mathbb{C}^2\setminus\mathbb{C}s$ ならば $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\log\|M_nv\|=\gamma$。特に $\limsup_n\frac1n\log\|M_nv\|<\gamma$ となる $v$ の全体は 1 次元部分空間 $\mathbb{C}s$ である。 $\sigma_n=\|M_n\|$ とし、の 1 の実正規直交基底を $s_n,t_n$（$\|M_ns_n\|=\sigma_n^{-1}$、$\|M_nt_n\|=\sigma_n$）とします。$B_n=M_{n+1}M_n^{-1}\in SL(2,\mathbb{R})$ とおくと、の 2 から $\|B_n^{-1}\|=\|B_n\|$ です。 $0<\varepsilon<\gamma/4$ を固定します。仮定から $n_0$ があって、$n\ge n_0$ で $$ e^{n(\gamma-\varepsilon)}\le\sigma_n\le e^{n(\gamma+\varepsilon)},\qquad\|B_n\|\le e^{n\varepsilon} $$ です。 **$s_n$ の収束。** $s_{n+1}$ の符号を $\langle s_{n+1},s_n\rangle\ge0$ となるように選び、$s_{n+1}=cs_n+dt_n$（$c\ge0$、$c^2+d^2=1$）と書きます。の 1 から $\|M_ns_{n+1}\|\ge|d|\sigma_n$、一方 $M_n=B_n^{-1}M_{n+1}$ から $\|M_ns_{n+1}\|\le\|B_n\|\sigma_{n+1}^{-1}$ なので、$n\ge n_0$ で $$ |d|\le\frac{\|B_n\|}{\sigma_n\sigma_{n+1}}\le e^{n\varepsilon-n(\gamma-\varepsilon)-(n+1)(\gamma-\varepsilon)}\le e^{-n(2\gamma-3\varepsilon)} $$ です。$0\le c\le1$ から $\|s_{n+1}-s_n\|^2=(1-c)^2+d^2=2(1-c)\le2(1-c^2)=2d^2$ なので、$\|s_{n+1}-s_n\|\le\sqrt2e^{-n(2\gamma-3\varepsilon)}$ です。これは総和可能なので $s_n$ は単位ベクトル $s$ に収束し、等比級数の和から定数 $C_\varepsilon$ について $$ \|s-s_n\|\le\sum_{k\ge n}\sqrt2e^{-k(2\gamma-3\varepsilon)}=C_\varepsilon e^{-n(2\gamma-3\varepsilon)}\qquad(n\ge n_0) $$ です。 **1 の証明。** 三角不等式から $$ \|M_ns\|\le\|M_ns_n\|+\|M_n\|\|s-s_n\|\le e^{-n(\gamma-\varepsilon)}+C_\varepsilon e^{n(\gamma+\varepsilon)}e^{-n(2\gamma-3\varepsilon)}\le(1+C_\varepsilon)e^{-n(\gamma-4\varepsilon)} $$ なので $\limsup_n\frac1n\log\|M_ns\|\le-\gamma+4\varepsilon$ です。一方の 1 から $\|M_ns\|\ge\sigma_n^{-1}$ で、$\liminf_n\frac1n\log\|M_ns\|\ge-\gamma$ です。$s$ は $\varepsilon$ によらない（$s_n$ の極限）ので、$\varepsilon\to0$ として 1 を得ます。 **2 の証明。** $s^\perp$ を $s$ に直交する実の単位ベクトルとし、$v=as+bs^\perp$（$b\ne0$）と書きます。平面の単位ベクトルについて $|\langle s^\perp,t_n\rangle|=|\langle s,s_n\rangle|\to1$ なので、大きい $n$ で $\|M_ns^\perp\|\ge|\langle t_n,s^\perp\rangle|\sigma_n\ge\sigma_n/2$ です（の 1 で $s^\perp=\langle s_n,s^\perp\rangle s_n+\langle t_n,s^\perp\rangle t_n$ と展開）。よって $$ \frac{|b|\sigma_n}2-|a|\,\|M_ns\|\le\|M_nv\|\le\sigma_n\|v\| $$ で、1 から $\|M_ns\|\to0$ なので、両辺の $\frac1n\log$ は $\gamma$ に収束します。 $(X,\mathcal{B},\mu,T)$ をエルゴード的な測度保存系、$A:X\to SL(2,\mathbb{R})$ を可測で $\log\|A\|\in L^1(\mu)$ とし、$L\ge0$ をの Lyapunov 指数とする。 1. $L>0$ なら、ほとんどすべての $x$ について実の単位ベクトル $s(x)$ が存在して、$\frac1n\log\|A_n(x)s(x)\|\to-L$、かつ $v\in\mathbb{C}^2\setminus\mathbb{C}s(x)$ なら $\frac1n\log\|A_n(x)v\|\to L$ である。さらにほとんどすべての $x$ で $A(x)s(x)\in\mathbb{R}s(Tx)$（方向の共変性）。 2. $L=0$ なら、ほとんどすべての $x$ とすべての $v\ne0$ で $\frac1n\log\|A_n(x)v\|\to0$ である。から $\|A^{-1}\|=\|A\|\ge1$ なので $\log^+\|A\|=\log^+\|A^{-1}\|=\log\|A\|\in L^1$ で、が使え、ほとんどすべての $x$ で $\frac1n\log\|A_n(x)\|\to L$ です。$\|A_n\|\ge1$ から $L\ge0$ です。次に $f=\log\|A\|$ に Birkhoff の定理（）を使うと、$\frac1nS_nf$ と $\frac1nS_{n+1}f=\frac{n+1}n\cdot\frac{S_{n+1}f}{n+1}$ は a.e. で同じ有限の極限をもつので、差 $\frac1nf(T^nx)\to0$ です。$M_n=A_n(x)$ とすると $M_{n+1}M_n^{-1}=A(T^nx)$ なので、$L>0$ ならこの $x$ での仮定が成り立ち、1 の前半を得ます。共変性：上の結論が $x$ と $Tx$ の両方で成り立つ点の集合は測度 $1$ です（$\mu(T^{-1}G)=\mu(G)$）。そのような $x$ で $A_n(Tx)A(x)s(x)=A_{n+1}(x)s(x)$ なので $\frac1n\log\|A_n(Tx)A(x)s(x)\|\to-L$、補題の最後の主張から $A(x)s(x)\in\mathbb{C}s(Tx)$ で、実ベクトルなので $\mathbb{R}s(Tx)$ に入ります。 $L=0$ なら、の 1 から $\|A_n(x)\|^{-1}\|v\|\le\|A_n(x)v\|\le\|A_n(x)\|\|v\|$ で、両側の $\frac1n\log$ が $0$ に収束します。 $A=\begin{pmatrix}e^{\gamma}&0\\0&e^{-\gamma}\end{pmatrix}$（$\gamma>0$）なら $A_n=A^n$ で、$s=(0,1)$、$L=\gamma$ です。行列が $x$ によらなければ縮む方向は固有ベクトルですが、一般には「$s(x)$ は $A(x)$ の固有ベクトル」ではなく、未来の行列すべてで決まります。たとえば $A(x)$ が 2 つの双曲型行列をランダムに取る場合、$s(x)$ は列の未来の部分 $A(x),A(Tx),\dots$ の関数で、各行列の固有ベクトルとは一般に一致しません。 $d\times d$ の可逆行列のコサイクルで $\log^+\|A\|,\log^+\|A^{-1}\|\in L^1$、$T$ がエルゴード的なら、定数 $\lambda_1>\lambda_2>\dots>\lambda_k$（Lyapunov スペクトル）と、ほとんどすべての $x$ について部分空間の減少列 $\mathbb{R}^d=W_1(x)\supsetneq W_2(x)\supsetneq\dots\supsetneq W_{k+1}(x)=0$ があって、$v\in W_i(x)\setminus W_{i+1}(x)$ なら $\frac1n\log\|A_n(x)v\|\to\lambda_i$ が成り立ちます（Oseledets 1968）。$T$ が可逆なら、時間を逆向きにしたコサイクルと組み合わせて $\mathbb{R}^d$ を各指数の部分空間の直和に分けられます。$SL(2,\mathbb{R})$ で $L>0$ の場合は $\lambda_1=L$、$\lambda_2=-L$、$W_2(x)=\mathbb{R}s(x)$ で、はこの特別な場合です。一般の場合の証明は、外積 $\wedge^jA$ に Furstenberg–Kesten の定理を使って $\lambda_1+\dots+\lambda_j$ を得るところから始まり、と同じ「特異ベクトルの急速な収束」の議論を高次元で行います（Ruelle 1979、Viana の講義録第 4 章）。 ## 5. 1 次元 Schrödinger 方程式への応用やのように、方程式 $u(n+1)+u(n-1)+V(n)u(n)=Eu(n)$ の解は $(u(n),u(n-1))^{\mathsf{T}}=M_n(u(0),u(-1))^{\mathsf{T}}$ と転送行列 $M_n\in SL(2,\mathbb{R})$ で書けます。有界な実数列 $V$ と $E\in\mathbb{R}$ について、正の向きの転送行列 $M_n$ が $\frac1n\log\|M_n\|\to\gamma>0$ を満たすとする。このとき、方程式の解のうち $n\to+\infty$ で $\frac1n\log\|(u(n),u(n-1))\|\to-\gamma$ となるものは定数倍を除いてただ 1 つで、それ以外の解（$0$ を除く）はすべて $\frac1n\log\|(u(n),u(n-1))\|\to\gamma$ を満たす。特に、多項式的に有界な解（$|u(n)|\le C(1+n)^N$）は、存在すれば $n\to+\infty$ で指数的に減衰する。 $M_{n+1}M_n^{-1}=\begin{pmatrix}E-V(n)&-1\\1&0\end{pmatrix}$ のノルムは $|E|+\sup|V|+2$ 以下で有界なので、の仮定が成り立ちます。解は初期値 $v=(u(0),u(-1))$ で決まり $(u(n),u(n-1))=M_nv$ なので、補題の 1・2 がそのまま前半です。多項式的に有界な解では $\frac1n\log\|M_nv\|$ の上極限が $0<\gamma$ なので、補題の最後の主張から $v\in\mathbb{C}s$ で、1 から指数的に減衰します。これと「スペクトル測度のほとんどすべてのエネルギーに多項式的に有界な一般化固有関数がある」ことを組み合わせると、Lyapunov 指数が正のエネルギーの集合には絶対連続スペクトルが無いこと（Ishii–Pastur の定理）が従います。その証明は [Harper 模型とほぼ Mathieu 作用素](/mathematics/spectral-scattering/harper-almost-mathieu) で、ほぼ Mathieu 作用素の $\lambda>1$ の場合に行います。 ## 6. 演習 $X_1,X_2,\dots$ を独立同分布で $E[|X_1|]<\infty$ の実確率変数とし、$A_n=\mathrm{diag}(e^{X_n},e^{-X_n})\cdots\mathrm{diag}(e^{X_1},e^{-X_1})$ とします。$\frac1n\log\|A_n\|$ の a.s. 極限を求め、$E[X_1]=0$ のときの結果を解釈してください。 $A_n=\mathrm{diag}(e^{S_n},e^{-S_n})$（$S_n=X_1+\dots+X_n$）で、$\|A_n\|=e^{|S_n|}$ です。大数の強法則（）から $\frac1n\log\|A_n\|=|S_n/n|\to|E[X_1]|$ a.s. です。$E[X_1]=0$ なら $L=0$ ですが、$X_1$ が恒等的に $0$ でなければ、中心極限定理から $|S_n|$ は $\sqrt n$ 程度の大きさで揺らぎ、$\|A_n\|$ 自体は有界になりません。可換な行列の積では Lyapunov 指数は単に対数の平均で、非可換性が無いと「ランダムさが指数的成長を生む」現象（Furstenberg の定理）は起きません。で 2 つ目の仮定 $\frac1n\log\|M_{n+1}M_n^{-1}\|\to0$ を外すと結論が成り立たないことを、$D_n=\mathrm{diag}(e^{n\gamma},e^{-n\gamma})$ と 90° 回転 $R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ を使い、$M_n=D_n$（$n$ が偶数）、$M_n=D_nR$（$n$ が奇数）として確かめてください。 $\|M_n\|=e^{n\gamma}$ なので 1 つ目の仮定は成り立ちます。$v=(a,b)$ について、$n$ が偶数なら $M_nv=(e^{n\gamma}a,e^{-n\gamma}b)$、奇数なら $Rv=(-b,a)$ なので $M_nv=(-e^{n\gamma}b,e^{-n\gamma}a)$ です。$a,b$ がともに $0$ でなければ $\|M_nv\|$ は常に $e^{n\gamma}$ 程度で縮みません。$v=(0,1)$ なら偶数の $n$ で $e^{-n\gamma}$ に縮み、奇数の $n$ で $e^{n\gamma}$ に伸び、$v=(1,0)$ はその逆です。どのベクトルについても $\frac1n\log\|M_nv\|\to-\gamma$ は成り立ちません。実際 $M_{n+1}M_n^{-1}$ は $D_{n+1}RD_n^{-1}$ などで、ノルムは $e^{(2n+1)\gamma}$ 程度と指数的に大きく、2 つ目の仮定が破れています。 $V=0$（自由な Laplacian）の転送行列 $A^E=\begin{pmatrix}E&-1\\1&0\end{pmatrix}$ について、$|E|>2$ のとき減衰方向 $s$ を具体的に求め、の減衰する解が $u(n)=\mu_-^n$（$\mu_-$ は $\mu^2-E\mu+1=0$ の絶対値の小さい根）であることを確かめてください。 $A^E$ の固有値は $\mu^2-E\mu+1=0$ の根 $\mu_\pm$ で、$|E|>2$ なら実数で $|\mu_-|<1<|\mu_+|$、$\mu_+\mu_-=1$ です。$\mu_-$ の固有ベクトルは $(\mu_-,1)$ で、$A^E(\mu_-,1)^{\mathsf{T}}=(E\mu_--1,\mu_-)^{\mathsf{T}}=(\mu_-^2,\mu_-)^{\mathsf{T}}$ です。よって $(A^E)^n(\mu_-,1)^{\mathsf{T}}=\mu_-^n(\mu_-,1)^{\mathsf{T}}$ で $\frac1n\log\|\cdot\|\to\log|\mu_-|=-\log|\mu_+|$ です。から $L=\log r(A^E)=\log|\mu_+|$ なので、これが補題の $s$（正規化した $(\mu_-,1)$）です。初期値 $(u(0),u(-1))=(1,\mu_-^{-1})$ に対応する解は $u(n)=\mu_-^n$ で、実際 $\mu_-^{n+1}+\mu_-^{n-1}=E\mu_-^n$ は $\mu_-^2+1=E\mu_-$ と同値です。 ## 参考文献 - J. F. C. Kingman, "The ergodic theory of subadditive stochastic processes", *J. Roy. Statist. Soc. Ser. B* 30 (1968), 499–510. - J. M. Steele, "Kingman's subadditive ergodic theorem", *Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist.* 25 (1989), 93–98. - H. Furstenberg, H. Kesten, "Products of random matrices", *Ann. Math. Statist.* 31 (1960), 457–469. - V. I. Oseledets, "A multiplicative ergodic theorem. Lyapunov characteristic numbers for dynamical systems", *Trans. Moscow Math. Soc.* 19 (1968), 197–231. - M. Viana, *Lectures on Lyapunov Exponents*, Cambridge University Press, 2014 — 第 3・4 章。 - P. Bougerol, J. Lacroix, *Products of Random Matrices with Application to Schrödinger Operators*, Birkhäuser, 1985 — 第 I 部。