Furstenberg–Kesten の定理

定理 3.2（「劣加法エルゴード定理と Lyapunov 指数」§3）・ ✓公理まで証明済み

$(T,A)$ を行列コサイクルとし、 $\log^+\|A\|$ と $\log^+\|A^{-1}\|$ が $L^1(\mu)$ に属するとする。このとき $L$ は存在して有限で、 $L=\inf_n\frac1n\int\log\|A_n\|\,d\mu$ であり、ほとんどすべての $x$ で

\lim_{n\to\infty}\frac1n\log\|A_n(x)\|=\lambda(x)

が存在する。 $\lambda$ は不変、可積分で $\int\lambda\,d\mu=L$ 。 $T$ がエルゴード的なら $\lambda=L$ a.e. である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 40 件、定義なども含めて 46 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

積分の不変性と Koopman 作用素✓補題 2.2・エルゴード定理
- 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入
  - 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入
    本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
    チェビシェフの不等式と正定値性✓補題 3.3・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
    ヤングの不等式✓補題 4.1・L^p 空間と関数解析への導入
Kingman の劣加法エルゴード定理✓定理 2.4・劣加法エルゴード定理と Lyapunov 指数
- Birkhoff の各点エルゴード定理✓定理 5.2・エルゴード定理
  - 最大エルゴード補題✓補題 5.1・エルゴード定理
    積分の不変性と Koopman 作用素✓補題 2.2・エルゴード定理（上で展開済み）
    ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 積分の不変性と Koopman 作用素✓補題 2.2・エルゴード定理（上で展開済み）
  - ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 条件付き期待値定義 3.1・条件付き期待値
  - 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    ラドン・ニコディムの定理✓定理 2.1・条件付き期待値この先をたどる →
  - エルゴード性の言い換え✓命題 3.3・エルゴード定理（上で展開済み）
- 劣不変な関数は不変✓補題 2.3・劣加法エルゴード定理と Lyapunov 指数
- 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値
  - 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値（上で展開済み）
- ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- エルゴード性の言い換え✓命題 3.3・エルゴード定理
  - ほとんど不変な集合✓補題 3.2・エルゴード定理

これを使っている定理証明で参照している 2 件

SL(2,ℝ) コサイクルの Oseledets の定理✓定理 4.3・劣加法エルゴード定理と Lyapunov 指数
系 8.3✓Harper 模型とほぼ Mathieu 作用素

Furstenberg–Kesten の定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件