ラドン・ニコディムの定理

定理 2.1（「条件付き期待値」§2）・ ✓公理まで証明済み

$(\Omega, \mathcal{G})$ を可測空間、 $\mu$ と $\nu$ をその上の $\sigma$ -有限測度とする。 $\nu$ が $\mu$ に関して絶対連続、すなわち

\mu(A) = 0 \implies \nu(A) = 0 \qquad (A \in \mathcal{G})

が成り立つとする。このとき $\mathcal{G}$ -可測な関数 $h : \Omega \to [0,\infty)$ が存在して

\nu(A) = \int_A h \, d\mu \qquad (\forall A \in \mathcal{G})

が成り立つ。さらに $h$ は $\mu$ -ほとんど至るところ一意である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 27 件、定義なども含めて 32 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Radon–Nikodym の定理✓定理 4.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
- Lebesgue 分解✓定理 4.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
  - 有限測度の Lebesgue 分解と密度（von Neumann の議論）✓補題 4.1・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
    ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
    $L^2$ はヒルベルト空間✓定理 6.2・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
    リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Gibbs 測度どうしの密度は尾部可測✓補題 6.1・DLR 条件と Gibbs 測度
条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値

ラドン・ニコディムの定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件