数学 › 確率論 › 条件付き期待値

条件付き期待値の存在と一意性

定理 3.2（「条件付き期待値」§3） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 28 件、定義なども含めて 33 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理

  • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列

      • アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
      • 整数部分の存在✓補題 5.1・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
  • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
• ラドン・ニコディムの定理✓定理 2.1・条件付き期待値

  • Radon–Nikodym の定理✓定理 4.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

    • Lebesgue 分解✓定理 4.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

      • 有限測度の Lebesgue 分解と密度（von Neumann の議論）✓補題 4.1・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理 この先をたどる →
      • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

• 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値
• タワー・プロパティ✓定理 4.2・条件付き期待値
• 条件付き単調収束定理✓補題 4.3・条件付き期待値
• 独立ならば条件づけは無意味✓命題 4.5・条件付き期待値
• Birkhoff の各点エルゴード定理✓定理 5.2・エルゴード定理

関連するノック 1 問

• 確率論 第 32 問