数学 › 確率論 › 条件付き期待値

タワー・プロパティ

定理 4.2（「条件付き期待値」§4）・ ✓公理まで証明済み

$\mathcal{G}_1 \subset \mathcal{G}_2 \subset \mathcal{F}$ を部分 $\sigma$ -加法族、 $X$ を可積分とする。このとき

E\bigl[E[X \mid \mathcal{G}_2] \,\big|\, \mathcal{G}_1\bigr] = E[X \mid \mathcal{G}_1], \qquad E\bigl[E[X \mid \mathcal{G}_1] \,\big|\, \mathcal{G}_2\bigr] = E[X \mid \mathcal{G}_1]

がほとんど確実に成り立つ。とくに $\mathcal{G}_1 = \{\emptyset,\Omega\}$ と取れば $E\bigl[E[X\mid\mathcal{G}_2]\bigr] = E[X]$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 29 件、定義なども含めて 34 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- ラドン・ニコディムの定理✓定理 2.1・条件付き期待値
  - Radon–Nikodym の定理✓定理 4.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
    Lebesgue 分解✓定理 4.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 8 件

全分散の分解✓補題 5.1・Monte Carlo 積分と分散低減
条件づけは分散を増やさない✓命題 5.2・Monte Carlo 積分と分散低減
因子分解定理（Fisher–Neyman）✓定理 3.2・統計モデルと十分統計量
Rao–Blackwell の定理✓定理 6.1・統計モデルと十分統計量
$L^p$ 縮小性✓系 4.7・条件付き期待値
条件付き期待値は直交射影✓定理 5.1・条件付き期待値
有界な指数のマルチンゲール性✓定理 3.2・Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理
Euclid 場と自由場の半群✓命題 3.2・Feynman–Kac 表示と場の模型の汎関数積分

関連するノック 2 問