有界な指数のマルチンゲール性

定理 3.2（「Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理」§3）・ ✓公理まで証明済み

$\varphi=\theta+i\eta$ とし、 $\theta,\eta$ は $\mathbb{R}^d$ 値の発展的可測過程で、定数 $C$ について $|\theta|\le C$ 、 $|\eta|\le C$ とします。このとき、すべての $t\in[0,T]$ について

\mathbb{E}\,|\mathcal{E}(\varphi)_t|^2\le e^{2C^2t},

で、 $0\le s<t\le T$ について $\mathbb{E}[\mathcal{E}(\varphi)_t\mid\mathcal{F}_s]=\mathcal{E}(\varphi)_s$ が成り立ちます。特に実数値の有界な $\theta$ について $\mathcal{E}(\theta)$ は正のマルチンゲールで、 $\mathbb{E}\,\mathcal{E}(\theta)_t=1$ です。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 113 件、定義なども含めて 135 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

独立な変数の凍結✓補題 2.1・Feller 過程と Feynman–Kac
- Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
- 切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
Gauss 分布の複素指数モーメント✓補題 2.2・Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理
- 独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値
  - 確率変数の独立性定義 2.3・確率変数と期待値
  - 変数変換公式✓定理 4.5・確率変数と期待値この先をたどる →
  - 分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値この先をたどる →
- 正規分布の特性関数✓補題 2.3・特性関数と Gauss ベクトル
  - ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
  - 特性関数の基本性質✓命題 2.2・特性関数と Gauss ベクトルこの先をたどる →
既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値
- 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値
  - 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値（上で展開済み）
- 条件付き単調収束定理✓補題 4.3・条件付き期待値
  - 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値（上で展開済み）
  - 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値（上で展開済み）
タワー・プロパティ✓定理 4.2・条件付き期待値
- 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - ラドン・ニコディムの定理✓定理 2.1・条件付き期待値この先をたどる →
有界な単純過程による近似✓補題 2.3・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
- 単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - Lebesgue の微分定理✓定理 5.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理この先をたどる →
条件付き共分散等長性✓補題 3.1・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
- 確率積分からの既知量の取り出し✓補題 2.4・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
  - 単純過程に対する伊藤積分定義 4.2・確率微分方程式
  - 単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式（上で展開済み）
  - 伊藤積分の存在と基本性質✓定理 4.7・確率微分方程式（上で展開済み）
- 伊藤積分の存在と基本性質✓定理 4.7・確率微分方程式
  - 伊藤等長性（単純過程の場合）✓定理 4.3・確率微分方程式この先をたどる →
  - 単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式（上で展開済み）
  - リース–フィッシャーの定理✓定理 5.3・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
  - ドゥーブの L² 極大不等式✓補題 4.6・確率微分方程式この先をたどる →
- 既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値（上で展開済み）
- 独立ならば条件づけは無意味✓命題 4.5・条件付き期待値
  - 独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値（上で展開済み）
  - 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値（上で展開済み）
- 独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値（上で展開済み）
- 単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式（上で展開済み）
確率収束から L¹ 収束へ✓補題 2.1・Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理
- ボレル・カンテリの補題（第一）✓補題 4.4・大数の法則と中心極限定理
- ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
- Scheffé の補題✓補題 4.3・特性関数と Gauss ベクトル

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Novikov の条件✓定理 3.3・Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理
Girsanov の定理✓定理 4.1・Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理

有界な指数のマルチンゲール性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件