数学 › 確率論 › 確率微分方程式

単純過程の稠密性

補題 4.4（「確率微分方程式」§4） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 35 件、定義なども含めて 41 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

  • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
      • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
      • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  • ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
      • 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
    • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
      • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
      • 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
      • 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
• Lebesgue の微分定理✓定理 5.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

  • $C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

    • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  • 極大不等式✓定理 5.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

    • Vitali の被覆補題✓補題 5.1・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
  • 外測度零の集合は可測✓命題 4.4・可測集合とルベーグ測度

    • 可測性の検証は片側の不等式で足りる✓補題 4.2・可測集合とルベーグ測度

      • 外測度の基本性質✓命題 3.2・可測集合とルベーグ測度（上で展開済み）
      • ルベーグ可測集合（カラテオドリの条件）定義 4.1・可測集合とルベーグ測度
    • 外測度の基本性質✓命題 3.2・可測集合とルベーグ測度

      • 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

• 有界な単純過程による近似✓補題 2.3・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
• 確率積分からの既知量の取り出し✓補題 2.4・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
• 条件付き共分散等長性✓補題 3.1・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
• 伊藤積分の存在と基本性質✓定理 4.7・確率微分方程式
• ウィーナー積分の分布と独立性✓命題 4.8・確率微分方程式