ウィーナー積分の分布と独立性

命題 4.8（「確率微分方程式」§4）・ ✓公理まで証明済み

$f : [0,T] \to \mathbb{R}$ を（ランダムでない）可測関数で $\int_0^T f(u)^2\,du < \infty$ を満たすものとし、 $0 \le s < t \le T$ とします。 $\omega$ に依らない過程は発展的可測なので $f\mathbf{1}_{(s,t]} \in \mathcal{L}^2[0,T]$ であり、

\int_s^t f(u)\,dB_u := I\bigl(f\mathbf{1}_{(s,t]}\bigr) = I_t(f) - I_s(f)

が定まります（第 2 の等号は $\mathbf{1}_{[0,t]} - \mathbf{1}_{[0,s]} = \mathbf{1}_{(s,t]}$ と $I$ の線形性）。このとき次が成り立ちます。

$\displaystyle\int_s^t f(u)\,dB_u \sim N\Bigl(0, \int_s^t f(u)^2\,du\Bigr)$ 。分散が $0$ のときは $0$ に集中する分布と読みます。
$\displaystyle\int_s^t f(u)\,dB_u$ は $\mathcal{F}_s$ と独立です。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 111 件、定義なども含めて 132 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式
- ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- Lebesgue の微分定理✓定理 5.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
  - $C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
  - 極大不等式✓定理 5.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
    Vitali の被覆補題✓補題 5.1・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
  - 外測度零の集合は可測✓命題 4.4・可測集合とルベーグ測度この先をたどる →
既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値
- 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値
  - 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値（上で展開済み）
- 条件付き単調収束定理✓補題 4.3・条件付き期待値
  - 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値（上で展開済み）
  - 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値（上で展開済み）
独立ならば条件づけは無意味✓命題 4.5・条件付き期待値
- 独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値
  - 確率変数の独立性定義 2.3・確率変数と期待値
  - 変数変換公式✓定理 4.5・確率変数と期待値この先をたどる →
  - 分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値この先をたどる →
- 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - ラドン・ニコディムの定理✓定理 2.1・条件付き期待値この先をたどる →
正規分布の特性関数✓補題 2.3・特性関数と Gauss ベクトル
- ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
  - 比較判定法と絶対収束✓定理 2.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
  - 置換積分✓定理 6.1・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
- 特性関数の基本性質✓命題 2.2・特性関数と Gauss ベクトル
  - 独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値（上で展開済み）
  - 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
伊藤積分の存在と基本性質✓定理 4.7・確率微分方程式
- 伊藤等長性（単純過程の場合）✓定理 4.3・確率微分方程式
  - 既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値（上で展開済み）
- 単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式（上で展開済み）
- リース–フィッシャーの定理✓定理 5.3・L^p 空間と関数解析への導入
  - 絶対収束による完備性の判定✓補題 5.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
  - 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
- ドゥーブの L² 極大不等式✓補題 4.6・確率微分方程式
  - 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値（上で展開済み）
一意性定理と反転公式✓定理 3.3・特性関数と Gauss ベクトル
- Gauss 平滑化✓補題 3.1・特性関数と Gauss ベクトル
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
  - 正規分布の特性関数✓補題 2.3・特性関数と Gauss ベクトル（上で展開済み）
  - Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
- 有界連続関数は分布を決める✓補題 3.2・特性関数と Gauss ベクトル
  - 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

オルンシュタイン・ウーレンベック過程の解の表示と分布✓命題 5.5・確率微分方程式

ウィーナー積分の分布と独立性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

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