数学 › 確率論 › 確率微分方程式

オルンシュタイン・ウーレンベック過程の解の表示と分布

命題 5.5（「確率微分方程式」§5） ・ ✓公理まで証明済み

θ>0\theta > 0, σ>0\sigma > 0 とし、X0X_0 を F0\mathcal{F}_0-可測で E[X02]<∞\mathbb{E}[X_0^2] < \infty な確率変数とします。方程式

dXt=−θXt dt+σ dBtdX_t = -\theta X_t\,dt + \sigma\,dB_t

の強解（定義 6.1）XX は存在し、次が成り立ちます。

  1. 任意の強解 XX と 0≤s≤t≤T0 \le s \le t \le T について、ほとんど確実に
Xt=e−θ(t−s)Xs+ξs,t,ξs,t:=σ∫ste−θ(t−u) dBuX_t = e^{-\theta(t-s)} X_s + \xi_{s,t}, \qquad \xi_{s,t} := \sigma \int_s^t e^{-\theta(t-u)}\,dB_u

（s=ts = t のときは ξt,t:=0\xi_{t,t} := 0）。とくに Xt=X0e−θt+σ∫0te−θ(t−u) dBuX_t = X_0 e^{-\theta t} + \sigma\int_0^t e^{-\theta(t-u)}\,dB_u です。 2. ξs,t\xi_{s,t} は Fs\mathcal{F}_s と独立（したがって XsX_s とも独立）で、N(0,σ22θ(1−e−2θ(t−s)))N\bigl(0, \frac{\sigma^2}{2\theta}(1 - e^{-2\theta(t-s)})\bigr) に従います。 3. X0∼N(m,s02)X_0 \sim N(m, s_0^2)（s0=0s_0 = 0 なら X0=mX_0 = m が定数）のとき、

Xt∼N(me−θt, s02e−2θt+σ22θ(1−e−2θt)).X_t \sim N\Bigl(m e^{-\theta t},\ s_0^2 e^{-2\theta t} + \frac{\sigma^2}{2\theta}\bigl(1 - e^{-2\theta t}\bigr)\Bigr).

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 116 件、定義なども含めて 138 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

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