数学 › 確率論 › 確率微分方程式

伊藤の公式

定理 5.2（「確率微分方程式」§5） ・ ✓公理まで証明済み

XX を dXt=μt dt+σt dBtdX_t = \mu_t\,dt + \sigma_t\,dB_t なる伊藤過程、f:[0,T]×R→Rf : [0,T] \times \mathbb{R} \to \mathbb{R} を C1,2C^{1,2} 級（tt について 1 回、xx について 2 回連続微分可能）とします。このとき (f(t,Xt))(f(t, X_t)) も伊藤過程であり、ほとんど確実にすべての t∈[0,T]t \in [0,T] について

f(t,Xt)=f(0,X0)+∫0t(∂f∂s+μs∂f∂x+12σs2∂2f∂x2)(s,Xs) ds+∫0tσs∂f∂x(s,Xs) dBsf(t, X_t) = f(0, X_0) + \int_0^t \left(\frac{\partial f}{\partial s} + \mu_s \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2}\sigma_s^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right)(s, X_s)\,ds + \int_0^t \sigma_s \frac{\partial f}{\partial x}(s, X_s)\,dB_s

が成り立ちます。微分形式で書けば

df(t,Xt)=(∂tf+μt∂xf+12σt2∂xxf)dt+σt∂xf dBt.df(t, X_t) = \left(\partial_t f + \mu_t \partial_x f + \tfrac12 \sigma_t^2 \partial_{xx} f\right)dt + \sigma_t \partial_x f\, dB_t.

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 60 件、定義なども含めて 67 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

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