フォッカー・プランク方程式

定理 5.3（「ゆらぎ・線形応答・非平衡」§5）・ ✓公理まで証明済み

$X$ が確率微分方程式 $dX_t=b(X_t)\,dt+s\,dB_t$ （ $b$ は $C^1$ 級でリプシッツ連続、 $s>0$ は定数）の解で、 $X_t$ が密度 $p(x,t)$ （ $C^{2,1}$ 級）をもち、 $x\to\pm\infty$ で $p$ と $\partial_xp$ が十分速く $0$ に近づくとする。このとき

\frac{\partial p}{\partial t}=-\frac{\partial}{\partial x}\bigl(b\,p\bigr)+\frac{s^2}{2}\frac{\partial^2p}{\partial x^2}

である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 62 件、定義なども含めて 69 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

伊藤の公式✓定理 5.2・確率微分方程式
- 伊藤積分の存在と基本性質✓定理 4.7・確率微分方程式（上で展開済み）
- ブラウン運動の二次変分✓定理 3.1・確率微分方程式
伊藤積分の存在と基本性質✓定理 4.7・確率微分方程式
- 伊藤等長性（単純過程の場合）✓定理 4.3・確率微分方程式
  - 既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値
    線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値（上で展開済み）
    条件付き単調収束定理✓補題 4.3・条件付き期待値この先をたどる →
- 単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - Lebesgue の微分定理✓定理 5.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
    $C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    極大不等式✓定理 5.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理この先をたどる →
    外測度零の集合は可測✓命題 4.4・可測集合とルベーグ測度この先をたどる →
- リース–フィッシャーの定理✓定理 5.3・L^p 空間と関数解析への導入
  - 絶対収束による完備性の判定✓補題 5.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入
    本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
    ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
  - 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
- ドゥーブの L² 極大不等式✓補題 4.6・確率微分方程式
  - 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値
    条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値この先をたどる →
連続関数の消滅補題✓補題 5.5・静電場とガウスの法則

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理

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