数学 › 確率論 › 確率微分方程式

伊藤等長性（単純過程の場合）

定理 4.3（「確率微分方程式」§4）・ ✓公理まで証明済み

$X \in \mathcal{S}$ に対し $\mathbb{E}[I(X)] = 0$ かつ

\mathbb{E}\left[I(X)^2\right] = \mathbb{E}\left[\int_0^T X_t^2\,dt\right]

が成り立ちます。すなわち $I : \mathcal{S} \to L^2(\Omega)$ はノルムを保つ線形写像です。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 32 件、定義なども含めて 37 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値
- 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値
  - 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ラドン・ニコディムの定理✓定理 2.1・条件付き期待値この先をたどる →
- 条件付き単調収束定理✓補題 4.3・条件付き期待値
  - 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値（上で展開済み）
  - 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

伊藤積分の存在と基本性質✓定理 4.7・確率微分方程式