伊藤積分の存在と基本性質

定理 4.7（「確率微分方程式」§4）・ ✓公理まで証明済み

一意に定まる線形写像 $I : \mathcal{L}^2[0,T] \to L^2(\Omega)$ が存在して、 $\mathcal{S}$ 上では定義 4.2 と一致し、すべての $X \in \mathcal{L}^2[0,T]$ に対して

\mathbb{E}\left[\int_0^T X_s\,dB_s\right] = 0, \qquad \mathbb{E}\left[\left(\int_0^T X_s\,dB_s\right)^2\right] = \mathbb{E}\left[\int_0^T X_s^2\,ds\right]

が成り立ちます。さらに $M_t := \int_0^t X_s\,dB_s$ は連続な道をもつバージョンをもち、 $(\mathcal{F}_t)$ -マルチンゲールです。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 58 件、定義なども含めて 65 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

伊藤等長性（単純過程の場合）✓定理 4.3・確率微分方程式
- 既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値
  - 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値（上で展開済み）
  - 条件付き単調収束定理✓補題 4.3・条件付き期待値
    線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値（上で展開済み）
    条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値（上で展開済み）
単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式
- ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- Lebesgue の微分定理✓定理 5.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
  - $C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 極大不等式✓定理 5.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
    Vitali の被覆補題✓補題 5.1・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
  - 外測度零の集合は可測✓命題 4.4・可測集合とルベーグ測度
    可測性の検証は片側の不等式で足りる✓補題 4.2・可測集合とルベーグ測度この先をたどる →
    外測度の基本性質✓命題 3.2・可測集合とルベーグ測度この先をたどる →
リース–フィッシャーの定理✓定理 5.3・L^p 空間と関数解析への導入
- 絶対収束による完備性の判定✓補題 5.2・L^p 空間と関数解析への導入
- ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入
  - 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入
    本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
    チェビシェフの不等式と正定値性✓補題 3.3・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
    ヤングの不等式✓補題 4.1・L^p 空間と関数解析への導入
- 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
ドゥーブの L² 極大不等式✓補題 4.6・確率微分方程式
- 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値
  - 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ラドン・ニコディムの定理✓定理 2.1・条件付き期待値この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 9 件

Brown フィルトレーションのマルチンゲール✓系 5.3・Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理
Stratonovich 積分と伊藤積分の関係✓定理 6.2・Feller 過程と Feynman–Kac
確率積分からの既知量の取り出し✓補題 2.4・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
条件付き共分散等長性✓補題 3.1・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
確率積分の積から作られるマルチンゲール✓命題 3.2・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
ウィーナー積分の分布と独立性✓命題 4.8・確率微分方程式
伊藤の公式✓定理 5.2・確率微分方程式
解の存在と一意性✓定理 6.3・確率微分方程式
フォッカー・プランク方程式✓定理 5.3・ゆらぎ・線形応答・非平衡

伊藤積分の存在と基本性質

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 9 件

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

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