数学 › 確率論 › 確率微分方程式

ドゥーブの L² 極大不等式

補題 4.6（「確率微分方程式」§4）・ ✓公理まで証明済み

$(M_t)_{t\in[0,T]}$ を $(\mathcal{F}_t)$ -マルチンゲールで、すべての道が連続、各 $M_t$ が二乗可積分であるとします。このとき $\sup_{t\le T}|M_t|$ は確率変数で

\mathbb{E}\Bigl[\sup_{t\le T}M_t^2\Bigr]\le4\,\mathbb{E}\bigl[M_T^2\bigr].

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 30 件、定義なども含めて 35 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値
- 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - ラドン・ニコディムの定理✓定理 2.1・条件付き期待値
    Radon–Nikodym の定理✓定理 4.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

伊藤積分の存在と基本性質✓定理 4.7・確率微分方程式
解の存在と一意性✓定理 6.3・確率微分方程式