解の存在と一意性

定理 6.3（「確率微分方程式」§6）・ ✓公理まで証明済み

$b, \sigma : [0,T] \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を可測とし、ある定数 $K > 0$ が存在して、すべての $t \in [0,T]$ , $x, y \in \mathbb{R}$ について

|b(t,x) - b(t,y)| + |\sigma(t,x) - \sigma(t,y)| \le K|x - y| \quad \text{(リプシッツ条件)},

|b(t,x)| + |\sigma(t,x)| \le K(1 + |x|) \quad \text{(線形増大条件)}

が成り立つとします。さらに $\xi$ は $\mathcal{F}_0$ -可測で $\mathbb{E}[\xi^2] < \infty$ とします。このとき定義 6.1 の意味での強解が存在し、

\mathbb{E}\left[\sup_{t \le T} X_t^2\right] < \infty

を満たします。またこの条件を満たす解は識別不能の意味で一意です（二つの解 $X, Y$ について $\mathbb{P}(X_t = Y_t \ \text{for all } t \in [0,T]) = 1$ ）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 60 件、定義なども含めて 67 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

伊藤積分の存在と基本性質✓定理 4.7・確率微分方程式
- 伊藤等長性（単純過程の場合）✓定理 4.3・確率微分方程式
  - 既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値
    線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値（上で展開済み）
    条件付き単調収束定理✓補題 4.3・条件付き期待値この先をたどる →
- 単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - Lebesgue の微分定理✓定理 5.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
    $C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    極大不等式✓定理 5.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理この先をたどる →
    外測度零の集合は可測✓命題 4.4・可測集合とルベーグ測度この先をたどる →
- リース–フィッシャーの定理✓定理 5.3・L^p 空間と関数解析への導入
  - 絶対収束による完備性の判定✓補題 5.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入
    本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
    ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
  - 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
- ドゥーブの L² 極大不等式✓補題 4.6・確率微分方程式（上で展開済み）
グロンウォールの不等式✓補題 6.2・確率微分方程式
ドゥーブの L² 極大不等式✓補題 4.6・確率微分方程式
- 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値
  - 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ラドン・ニコディムの定理✓定理 2.1・条件付き期待値この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

オルンシュタイン・ウーレンベック過程の解の表示と分布✓命題 5.5・確率微分方程式

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閉包の状態

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