条件付き共分散等長性

補題 3.1（「多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け」§3）・ ✓公理まで証明済み

$H,K\in\mathcal{L}^2[0,T]$ 、 $a,b\in\{1,\dots,d\}$ 、 $0\le s<t\le T$ 、 $\xi$ を有界な $\mathcal{F}_s$ -可測確率変数とします。このとき

\mathbb{E}\left[\xi\int_s^tH_u\,dW^a_u\int_s^tK_u\,dW^b_u\right]=\delta_{ab}\,\mathbb{E}\left[\xi\int_s^tH_uK_u\,du\right].

特に $H,G\in\mathcal{L}^2_d$ について $\mathbb{E}[\int_0^TH\cdot dW\int_0^TG\cdot dW]=\mathbb{E}\int_0^TH_u\cdot G_u\,du$ です。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 68 件、定義なども含めて 80 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

確率積分からの既知量の取り出し✓補題 2.4・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
- 単純過程に対する伊藤積分定義 4.2・確率微分方程式
- 単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式（上で展開済み）
- 伊藤積分の存在と基本性質✓定理 4.7・確率微分方程式（上で展開済み）
伊藤積分の存在と基本性質✓定理 4.7・確率微分方程式
- 伊藤等長性（単純過程の場合）✓定理 4.3・確率微分方程式
  - 既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値（上で展開済み）
- 単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式（上で展開済み）
- リース–フィッシャーの定理✓定理 5.3・L^p 空間と関数解析への導入
  - 絶対収束による完備性の判定✓補題 5.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入
    本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
    ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
  - 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
- ドゥーブの L² 極大不等式✓補題 4.6・確率微分方程式
  - 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値（上で展開済み）
既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値
- 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値
  - 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値（上で展開済み）
- 条件付き単調収束定理✓補題 4.3・条件付き期待値
  - 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値（上で展開済み）
  - 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値（上で展開済み）
独立ならば条件づけは無意味✓命題 4.5・条件付き期待値
- 独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値（上で展開済み）
- 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - ラドン・ニコディムの定理✓定理 2.1・条件付き期待値
    Radon–Nikodym の定理✓定理 4.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理この先をたどる →
独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値
- 確率変数の独立性定義 2.3・確率変数と期待値
- 変数変換公式✓定理 4.5・確率変数と期待値
  - 期待値定義 4.1・確率変数と期待値
  - 分布と分布関数定義 3.5・確率変数と期待値
  - 単関数の期待値の well-defined 性✓補題 4.2・確率変数と期待値
  - 標準近似列✓命題 4.4・確率変数と期待値
    確率変数定義 3.1・確率変数と期待値
    単調収束定理✓定理 2.1・確率変数と期待値この先をたどる →
  - 単調収束定理✓定理 2.1・確率変数と期待値この先をたどる →
- 分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値
  - 期待値定義 4.1・確率変数と期待値
  - 確率空間では L² ⊂ L¹✓命題 5.2・確率変数と期待値
単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式
- ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- Lebesgue の微分定理✓定理 5.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
  - $C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
  - 極大不等式✓定理 5.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理この先をたどる →
  - 外測度零の集合は可測✓命題 4.4・可測集合とルベーグ測度この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 6 件

有界な指数のマルチンゲール性✓定理 3.2・Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理
伊藤のマルチンゲール表現定理✓定理 5.2・Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理
確率積分の積から作られるマルチンゲール✓命題 3.2・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
伊藤積分の 4 次モーメント✓補題 3.5・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
共変分の離散近似✓定理 4.1・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
積の公式✓系 5.3・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け

条件付き共分散等長性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理 証明で参照している 6 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理証明で参照している 6 件