積の公式

系 5.3（「多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け」§5）・ ✓公理まで証明済み

$X,Y$ を、有界係数の条件 (A) を満たす同じ伊藤過程の二つの成分とし（ $dX=\mu^X\,dt+\sigma^X\cdot dW$ 、 $dY=\mu^Y\,dt+\sigma^Y\cdot dW$ ）、 $X_0,Y_0\in L^2(\Omega)$ とします。このとき $X\sigma^Y,Y\sigma^X\in\mathcal{L}^2_d$ で、ほとんど確実にすべての $t$ について

X_tY_t=X_0Y_0+\int_0^tX_u\,dY_u+\int_0^tY_u\,dX_u+\langle X,Y\rangle_t,

ここで $\int_0^tX_u\,dY_u:=\int_0^tX_u\mu^Y_u\,du+\int_0^tX_u\sigma^Y_u\cdot dW_u$ 、 $\langle X,Y\rangle_t=\int_0^t\sigma^X_u\cdot\sigma^Y_u\,du$ です。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 78 件、定義なども含めて 90 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

条件付き共分散等長性✓補題 3.1・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
- 確率積分からの既知量の取り出し✓補題 2.4・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け（上で展開済み）
- 伊藤積分の存在と基本性質✓定理 4.7・確率微分方程式
  - 伊藤等長性（単純過程の場合）✓定理 4.3・確率微分方程式
    既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値（上で展開済み）
  - 単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式（上で展開済み）
  - リース–フィッシャーの定理✓定理 5.3・L^p 空間と関数解析への導入
    絶対収束による完備性の判定✓補題 5.2・L^p 空間と関数解析への導入
    ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
    本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - ドゥーブの L² 極大不等式✓補題 4.6・確率微分方程式
    線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値（上で展開済み）
- 既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値
  - 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値
    条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値（上で展開済み）
  - 条件付き単調収束定理✓補題 4.3・条件付き期待値
    線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値（上で展開済み）
    条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値（上で展開済み）
- 独立ならば条件づけは無意味✓命題 4.5・条件付き期待値
  - 独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値（上で展開済み）
  - 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ラドン・ニコディムの定理✓定理 2.1・条件付き期待値この先をたどる →
- 独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値
  - 確率変数の独立性定義 2.3・確率変数と期待値
  - 変数変換公式✓定理 4.5・確率変数と期待値この先をたどる →
  - 分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値この先をたどる →
- 単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - Lebesgue の微分定理✓定理 5.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理この先をたどる →
共変分の離散近似✓定理 4.1・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
- 条件付き共分散等長性✓補題 3.1・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け（上で展開済み）
- 伊藤積分の 4 次モーメント✓補題 3.5・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
  - 独立な変数の凍結✓補題 2.1・Feller 過程と Feynman–Kac この先をたどる →
  - 既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値（上で展開済み）
  - 有界な単純過程による近似✓補題 2.3・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
    単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式（上で展開済み）
  - 条件付き共分散等長性✓補題 3.1・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け（上で展開済み）
  - マルコフ・チェビシェフの不等式✓命題 3.5・大数の法則と中心極限定理
  - ボレル・カンテリの補題（第一）✓補題 4.4・大数の法則と中心極限定理
  - ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値（上で展開済み）
- ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
確率積分からの既知量の取り出し✓補題 2.4・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
- 単純過程に対する伊藤積分定義 4.2・確率微分方程式
- 単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式（上で展開済み）
- 伊藤積分の存在と基本性質✓定理 4.7・確率微分方程式（上で展開済み）

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

積の公式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）