共変分の離散近似

定理 4.1（「多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け」§4）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を有界係数の条件 (A)（定数 $K$ ）を満たす $n$ 次元伊藤過程、 $G$ を適合した実数値過程で、道が連続かつ $|G|\le C$ なるものとします。 $t\in(0,T]$ 、 $\Pi=\{0=t_0<\dots<t_m=t\}$ を分割、 $\Delta X^i_k=X^i_{t_{k+1}}-X^i_{t_k}$ とおくと

\mathbb{E}\left|\sum_{k}G_{t_k}\,\Delta X^i_k\,\Delta X^j_k-\int_0^tG_u\,d\langle X^i,X^j\rangle_u\right|\longrightarrow0\qquad(\|\Pi\|\to0).

ここで $\int_0^tG_u\,d\langle X^i,X^j\rangle_u=\int_0^tG_u\,\sigma^i_u\cdot\sigma^j_u\,du$ です。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 77 件、定義なども含めて 89 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

条件付き共分散等長性✓補題 3.1・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
- 確率積分からの既知量の取り出し✓補題 2.4・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
  - 単純過程に対する伊藤積分定義 4.2・確率微分方程式
  - 単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式（上で展開済み）
  - 伊藤積分の存在と基本性質✓定理 4.7・確率微分方程式（上で展開済み）
- 伊藤積分の存在と基本性質✓定理 4.7・確率微分方程式
  - 伊藤等長性（単純過程の場合）✓定理 4.3・確率微分方程式
    既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値（上で展開済み）
  - 単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式（上で展開済み）
  - リース–フィッシャーの定理✓定理 5.3・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
  - ドゥーブの L² 極大不等式✓補題 4.6・確率微分方程式
    線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値（上で展開済み）
- 既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値（上で展開済み）
- 独立ならば条件づけは無意味✓命題 4.5・条件付き期待値
  - 独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値（上で展開済み）
  - 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値この先をたどる →
- 独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値
  - 確率変数の独立性定義 2.3・確率変数と期待値
  - 変数変換公式✓定理 4.5・確率変数と期待値この先をたどる →
  - 分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値この先をたどる →
- 単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - Lebesgue の微分定理✓定理 5.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理この先をたどる →
伊藤積分の 4 次モーメント✓補題 3.5・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
- 独立な変数の凍結✓補題 2.1・Feller 過程と Feynman–Kac
  - Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - 切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
- 既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値（上で展開済み）
- 有界な単純過程による近似✓補題 2.3・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
  - 単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式（上で展開済み）
- 条件付き共分散等長性✓補題 3.1・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け（上で展開済み）
- マルコフ・チェビシェフの不等式✓命題 3.5・大数の法則と中心極限定理
- ボレル・カンテリの補題（第一）✓補題 4.4・大数の法則と中心極限定理
- ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値
- 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値
  - 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値この先をたどる →
- 条件付き単調収束定理✓補題 4.3・条件付き期待値
  - 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値（上で展開済み）
  - 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値この先をたどる →
ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

多次元伊藤公式✓定理 5.1・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
積の公式✓系 5.3・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け

共変分の離散近似

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件