数学 › 確率論 › 多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け

多次元伊藤公式

定理 5.1（「多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け」§5） ・ ✓公理まで証明済み

XX を有界係数の条件 (A) を満たす nn 次元伊藤過程とし、f∈C1,2([0,T]×Rn)f\in C^{1,2}([0,T]\times\mathbb{R}^n)（tt について 1 回、xx について 2 回連続微分可能）で、xx についての 1 階・2 階の偏導関数 ∂if\partial_if、∂ijf\partial_{ij}f が有界であるとします。このとき、ほとんど確実にすべての t∈[0,T]t\in[0,T] について

f(t,Xt)=f(0,X0)+∫0t∂tf(u,Xu) du+∑i∫0t∂if(u,Xu) μui du+∑i,a∫0t∂if(u,Xu) σuia dWua+12∑i,j∫0t∂ijf(u,Xu) d⟨Xi,Xj⟩u\begin{aligned} f(t,X_t)=f(0,X_0)&+\int_0^t\partial_tf(u,X_u)\,du+\sum_{i}\int_0^t\partial_if(u,X_u)\,\mu^i_u\,du\\ &+\sum_{i,a}\int_0^t\partial_if(u,X_u)\,\sigma^{ia}_u\,dW^a_u+\frac12\sum_{i,j}\int_0^t\partial_{ij}f(u,X_u)\,d\langle X^i,X^j\rangle_u \end{aligned}

が成り立ちます。微分形式では df=∂tf dt+∑i∂if dXi+12∑i,j∂ijf d⟨Xi,Xj⟩df=\partial_tf\,dt+\sum_i\partial_if\,dX^i+\frac12\sum_{i,j}\partial_{ij}f\,d\langle X^i,X^j\rangle です。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 79 件、定義なども含めて 91 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件