独立な可積分確率変数の積の期待値

命題 7.5（「確率変数と期待値」§7）・ ✓公理まで証明済み

$X, Y$ を独立な確率変数とし、ともに可積分とする。このとき $XY$ も可積分で

E[XY] = E[X]\,E[Y]

が成り立つ。特に $X, Y \in L^2$ が独立ならば $\mathrm{Cov}(X,Y) = 0$ である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 15 件、定義なども含めて 23 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

確率変数の独立性定義 2.3・確率変数と期待値
変数変換公式✓定理 4.5・確率変数と期待値
- 期待値定義 4.1・確率変数と期待値
- 分布と分布関数定義 3.5・確率変数と期待値
- 単関数の期待値の well-defined 性✓補題 4.2・確率変数と期待値
- 標準近似列✓命題 4.4・確率変数と期待値
  - 確率変数定義 3.1・確率変数と期待値
  - 単調収束定理✓定理 2.1・確率変数と期待値（上で展開済み）
- 単調収束定理✓定理 2.1・確率変数と期待値
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値
- 期待値定義 4.1・確率変数と期待値
- 確率空間では L² ⊂ L¹✓命題 5.2・確率変数と期待値