情報科学 › 乱数と確率的数値計算 › Monte Carlo 積分と分散低減

制御変量の最適な係数

定理 4.5（「Monte Carlo 積分と分散低減」§4） ・ ✓公理まで証明済み

Y,C∈L2Y, C \in L^2、σ2=Var(Y)\sigma^2 = \mathrm{Var}(Y)、σC2=Var(C)>0\sigma_C^2 = \mathrm{Var}(C) > 0、ρ=Cov(Y,C)/(σσC)\rho = \mathrm{Cov}(Y, C)/(\sigma\sigma_C)（σ=0\sigma = 0 のときは ρ=0\rho = 0）とする。

  1. 任意の定数 β\beta について I^Ncv(β)\hat I_N^{\mathrm{cv}}(\beta) は不偏で、Var(I^Ncv(β))=1N(σ2−2β Cov(Y,C)+β2σC2)\mathrm{Var}\bigl(\hat I_N^{\mathrm{cv}}(\beta)\bigr) = \frac1N\bigl(\sigma^2 - 2\beta\,\mathrm{Cov}(Y, C) + \beta^2\sigma_C^2\bigr)。
  2. この分散は β∗=Cov(Y,C)/σC2\beta^* = \mathrm{Cov}(Y, C)/\sigma_C^2 で最小になり、最小値は (1−ρ2)σ2/N(1 - \rho^2)\sigma^2/N である。
  3. β\beta を標本から決めた確率変数 β^∈L2\hat\beta \in L^2 で置き換えると、偏りは E[I^Ncv(β^)]−I=−Cov(β^,CˉN)\mathbb{E}[\hat I_N^{\mathrm{cv}}(\hat\beta)] - I = -\mathrm{Cov}(\hat\beta, \bar C_N)（CˉN=1N∑Ci\bar C_N = \frac1N\sum C_i）で、 ∣E[I^Ncv(β^)]−I∣≤σCNVar(β^)\bigl|\mathbb{E}[\hat I_N^{\mathrm{cv}}(\hat\beta)] - I\bigr| \le \frac{\sigma_C}{\sqrt N}\sqrt{\mathrm{Var}(\hat\beta)} を満たす。β^\hat\beta が (C1,…,CN)(C_1, \ldots, C_N) と独立（別の標本から推定した場合）なら、偏りは 00 である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 97 件、定義なども含めて 118 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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