乱数と確率的数値計算

情報科学修士無料 7 章有料 0 章

乱数を使う数値計算を、擬似乱数の生成、分布からの標本抽出、Monte Carlo 積分と分散低減、Markov 連鎖 Monte Carlo、統計誤差の解析、準 Monte Carlo 法、経路積分 Monte Carlo の 7 章で扱う。

想定読者: 大学院生（修士課程）、Monte Carlo 法・MCMC を研究で使い、結果に誤差を付けて報告する人

前提テーマ:確率論

このテーマの 100 本ノック（50 問）

目次

1. 第 1 章擬似乱数生成器：線形合同法の周期・格子構造・並列ストリーム無料擬似乱数生成器を有限状態の機械として定式化し、線形合同法が全周期をもつ条件（Hull–Dobell）、連続する組が少数の超平面に載ること（Marsaglia）、F_2 線形生成器の最大周期と原始多項式、飛び越しと並列ストリームの重なりの確率を証明する。
2. 第 2 章分布からの標本抽出：逆関数法・棄却法・正規乱数・離散分布無料一様乱数から指定した分布の標本を作る方法を証明つきで扱う。一般化逆関数による逆関数法、棄却法の正しさと採択率、Box–Muller 法と多次元正規分布、球面上の一様分布、別名法、Fisher–Yates の方法、倍精度の一様乱数が裾に届く範囲。
3. 第 3 章Monte Carlo 積分と分散低減：重点サンプリング・制御変量・層別無料標本平均による積分の誤差が次元によらず σ/√N であることと、標準誤差・信頼区間の根拠を証明する。積型求積則の誤差 N^(-r/d) と比べたうえで、対称変量・制御変量・層別・条件づけ・重点サンプリングの分散を定理として評価する。
4. 第 4 章Markov 連鎖 Monte Carlo：提案の設計・Peskun の順序・混合時間無料有限状態の可逆な Markov 連鎖について、時間平均の概収束、スペクトルギャップによる全変動距離と漸近分散の評価、採択関数の優劣を決める Peskun の順序、Cheeger の不等式、カップリングによる混合時間の上界を証明し、数値例で確かめる。
5. 第 5 章統計誤差の解析：自己相関・バッチ平均・ジャックナイフとブートストラップ無料相関のある Monte Carlo 標本に誤差を付ける方法を証明つきで扱う。可逆な連鎖の自己共分散の正値性と窓の打ち切り、バッチ平均の偏り O(1/b)、ジャックナイフ分散推定量の一致性と中央値での破綻、ブートストラップの一致性と最大値での破綻、熱化の偏りと R̂ 統計量。
6. 第 6 章準 Monte Carlo 法：食い違い量・Koksma–Hlawka の不等式・格子則無料独立乱数を決定的な点列に置き換える準 Monte Carlo 法を証明つきで扱う。Weyl の判定法、Koksma–Hlawka の不等式、van der Corput 列と Halton 列の食い違い量 O((log N)^d/N)、格子則の誤差と良い生成ベクトルの存在、無作為な平行移動、ANOVA 分解と有効次元。
7. 第 7 章経路積分 Monte Carlo：Feynman–Kac 公式・時間分割の誤差・推定量と符号問題無料量子系の有限温度の計算を Monte Carlo 法で行うときの誤差を証明つきで扱う。対称分割の誤差 O(β³/M²) の交換子による評価、調和振動子の離散化誤差の閉じた形、Brown 橋の二分法、熱力学的推定量とビリアル推定量の分散、局所更新の緩和の M² 則、符号問題の指数則。