単調収束定理

定理 2.1（「確率変数と期待値」§2）・ ✓公理まで証明済み

$(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ を測度空間、 $X_n : \Omega \to [0, \infty]$ を可測関数の列とする。すべての $\omega \in \Omega$ に対して $0 \le X_1(\omega) \le X_2(\omega) \le \cdots$ かつ $X_n(\omega) \to X(\omega)$ が成り立つならば、 $X$ は可測で

\lim_{n \to \infty} \int_\Omega X_n \, d\mu = \int_\Omega X \, d\mu

が成り立つ（両辺が $+\infty$ になる場合も含めて等号）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 9 件、定義なども含めて 13 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列
    アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    整数部分の存在✓補題 5.1・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
- 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

これを使っている定理証明で参照している 7 件

故障があるときの 1 区間の期待時間✓定理 4.2・長時間ジョブの管理
再帰的な生成器の停止と大きさ✓定理 4.1・性質ベーステスト
Gibbs 測度どうしの密度は尾部可測✓補題 6.1・DLR 条件と Gibbs 測度
大数の強法則（コルモゴロフ）✓定理 4.5・大数の法則と中心極限定理
標準近似列✓命題 4.4・確率変数と期待値
変数変換公式✓定理 4.5・確率変数と期待値
離散型・連続型の計算公式✓系 4.6・確率変数と期待値

単調収束定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 7 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理証明で参照している 7 件