数学 › 確率論 › 確率変数と期待値

離散型・連続型の計算公式

系 4.6（「確率変数と期待値」§4）・ ✓公理まで証明済み

$g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ をボレル可測とする。

$X$ が離散型で $P(X = x_k) = p_k$ （ $k \in \mathbb{N}$ 、 $\sum_k p_k = 1$ ）ならば、 $\sum_k |g(x_k)| p_k < \infty$ のとき $g(X)$ は可積分で $E[g(X)] = \sum_{k} g(x_k)\, p_k .$
$X$ が密度 $f$ を持つ連続型ならば、 $\int_{\mathbb{R}} |g(x)| f(x) \, dx < \infty$ のとき $g(X)$ は可積分で $E[g(X)] = \int_{\mathbb{R}} g(x) f(x) \, dx .$

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 13 件、定義なども含めて 21 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

変数変換公式✓定理 4.5・確率変数と期待値
- 期待値定義 4.1・確率変数と期待値
- 分布と分布関数定義 3.5・確率変数と期待値
- 単関数の期待値の well-defined 性✓補題 4.2・確率変数と期待値
- 標準近似列✓命題 4.4・確率変数と期待値
  - 確率変数定義 3.1・確率変数と期待値
  - 単調収束定理✓定理 2.1・確率変数と期待値（上で展開済み）
- 単調収束定理✓定理 2.1・確率変数と期待値（上で展開済み）
単調収束定理✓定理 2.1・確率変数と期待値
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
離散型・連続型定義 3.8・確率変数と期待値

これを使っている定理証明で参照している 1 件

故障があるときの 1 区間の期待時間✓定理 4.2・長時間ジョブの管理

離散型・連続型の計算公式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件