数学 › 確率論 › 確率変数と期待値

標準近似列

命題 4.4（「確率変数と期待値」§4）・ ✓公理まで証明済み

$X : \Omega \to [0,\infty]$ を可測とし、 $n \in \mathbb{N}$ に対して

X_n := \sum_{k=0}^{n2^n - 1} \frac{k}{2^n}\, \mathbf{1}_{\left\{\frac{k}{2^n} \le X < \frac{k+1}{2^n}\right\}} \;+\; n\, \mathbf{1}_{\{X \ge n\}}

とおく。このとき各 $X_n$ は非負単関数であり、すべての $\omega$ について $X_n(\omega) \le X_{n+1}(\omega)$ かつ $X_n(\omega) \to X(\omega)$ が成り立つ。さらに $E[X_n] \to E[X]$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 10 件、定義なども含めて 15 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

確率変数定義 3.1・確率変数と期待値
単調収束定理✓定理 2.1・確率変数と期待値
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

これを使っている定理証明で参照している 1 件

変数変換公式✓定理 4.5・確率変数と期待値