確率変数

定義 3.1（「確率変数と期待値」§3）

$(\Omega, \mathcal{F}, P)$ を確率空間とする。写像 $X : \Omega \to \mathbb{R}$ が確率変数（あるいは $\mathcal{F}$ -可測関数）であるとは、

\forall B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}), \quad X^{-1}(B) := \{\omega \in \Omega : X(\omega) \in B\} \in \mathcal{F}

が成り立つことをいう。値域を $[-\infty, +\infty]$ に広げた場合は、 $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ の代わりに $[-\infty,+\infty]$ のボレル集合族を用い、拡張実数値確率変数と呼ぶ。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。