期待値

$(\Omega, \mathcal{F}, P)$ を確率空間とする。

（第 1・2 段階） $A_1, \ldots, A_n \in \mathcal{F}$ が $\Omega$ の分割、$a_1, \ldots, a_n \in [0,\infty)$ のとき、$S = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{1}_{A_i}$ の形の確率変数を非負単関数という。その期待値を

で定める。

（第 3 段階） $X : \Omega \to [0, \infty]$ が可測のとき

と定める。

（第 4 段階） 一般の確率変数 $X$ に対し $X^{+} := \max(X, 0)$、$X^{-} := \max(-X, 0)$ とおく（$X = X^+ - X^-$、$|X| = X^+ + X^-$）。$E[|X|] < \infty$ のとき $X$ は可積分であるといい、

と定める。可積分な確率変数全体を $L^1(\Omega, \mathcal{F}, P)$ と書く。