大数の強法則（コルモゴロフ）

定理 4.5（「大数の法則と中心極限定理」§4）・ ✓公理まで証明済み

$X_1, X_2, \ldots$ を独立同分布な確率変数列とし、 $E[|X_1|] < \infty$ 、 $\mu = E[X_1]$ とする。このとき

P\left(\lim_{n\to\infty} \bar{X}_n = \mu\right) = 1,

すなわち $\bar{X}_n \xrightarrow{\text{a.s.}} \mu$ である。逆に $E[|X_1|] = \infty$ ならば、 $\limsup_n |\bar{X}_n| = \infty$ が確率 $1$ で成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 22 件、定義なども含めて 27 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
- 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
- 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列
    アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    整数部分の存在✓補題 5.1・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
ボレル・カンテリの補題（第一）✓補題 4.4・大数の法則と中心極限定理
単調収束定理✓定理 2.1・確率変数と期待値
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値
- 期待値定義 4.1・確率変数と期待値
- 確率空間では L² ⊂ L¹✓命題 5.2・確率変数と期待値
マルコフ・チェビシェフの不等式✓命題 3.5・大数の法則と中心極限定理

これを使っている定理証明で参照している 9 件

時間平均の概収束✓定理 3.2・Markov 連鎖 Monte Carlo
Monte Carlo 推定量の誤差✓定理 2.2・Monte Carlo 積分と分散低減
自己正規化推定量の一致性・漸近分散・偏り✓命題 6.6・Monte Carlo 積分と分散低減
符号つきの重みの期待値と、必要な標本数✓定理 8.2・経路積分 Monte Carlo
最大値は N より遅くしか増えない✓補題 6.2・統計誤差の解析
ジャックナイフ分散推定量の一致性✓定理 6.3・統計誤差の解析
標本平均のブートストラップの一致性✓定理 7.3・統計誤差の解析
ホワイトノイズは関数ではない✓命題 6.3・核型空間と Bochner–Minlos の定理
大数の弱法則✓定理 4.1・大数の法則と中心極限定理

大数の強法則（コルモゴロフ）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

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