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標本平均のブートストラップの一致性

定理 7.3（「統計誤差の解析」§7） ・ ✓公理まで証明済み

X1,X2,…X_1, X_2, \ldots を独立同分布な実確率変数とし、μ=EX1\mu = \mathbb{E}X_1、σ2=Var(X1)>0\sigma^2 = \mathrm{Var}(X_1) > 0、ρ3=E∣X1−μ∣3<∞\rho_3 = \mathbb{E}|X_1 - \mu|^3 < \infty とする。σ^N2=N−1∑i≤N(Xi−XˉN)2\hat\sigma_N^2 = N^{-1}\sum_{i\le N}(X_i - \bar X_N)^2 とおき、

FN(x)=P(N(XˉN−μ)σ≤x),HN(x)=P∗(N(XˉN∗−XˉN)σ^N≤x)F_N(x) = \mathbb{P}\Bigl(\frac{\sqrt N(\bar X_N - \mu)}{\sigma} \le x\Bigr), \qquad H_N(x) = \mathbb{P}^*\Bigl(\frac{\sqrt N(\bar X_N^* - \bar X_N)}{\hat\sigma_N} \le x\Bigr)

とする（HNH_N はデータ X1,…,XNX_1, \ldots, X_N で決まる分布関数で、σ^N>0\hat\sigma_N > 0 のとき定義する。XˉN∗\bar X_N^* は再標本の平均）。CC を Berry–Esseen の定理の絶対定数とすると、確率 11 で

lim sup⁡N→∞Nsup⁡x∈R∣HN(x)−FN(x)∣≤5Cρ3σ3\limsup_{N\to\infty}\sqrt N\sup_{x\in\mathbb{R}}|H_N(x) - F_N(x)| \le \frac{5C\rho_3}{\sigma^3}

が成り立つ。特に Kolmogorov 距離は確率 11 で 00 に収束する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 140 件、定義なども含めて 166 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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