特性関数の基本性質

命題 2.2（「特性関数と Gauss ベクトル」§2）・ ✓公理まで証明済み

$\varphi(0)=1$ 、 $|\varphi(t)|\le1$ 、 $\varphi(-t)=\overline{\varphi(t)}$ 。
$\varphi$ は一様連続である。
$A$ を $d'\times d$ 行列、 $b\in\mathbb{R}^{d'}$ とすると、 $\varphi_{AX+b}(t)=e^{i\langle t,b\rangle}\varphi_X(A^{\mathsf T}t)$ 。
$X_1,\dots,X_m$ が独立な確率ベクトルなら、 $(X_1,\dots,X_m)$ の特性関数は $\prod_j\varphi_{X_j}(t_j)$ 。とくに独立な和では $\varphi_{X+Y}=\varphi_X\varphi_Y$ 。
( $d=1$ ) $E|X|^m<\infty$ ならば $\varphi\in C^m$ で、 $\varphi^{(j)}(0)=i^jE[X^j]$ （ $j\le m$ ）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 34 件、定義なども含めて 46 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値
- 確率変数の独立性定義 2.3・確率変数と期待値
- 変数変換公式✓定理 4.5・確率変数と期待値
  - 期待値定義 4.1・確率変数と期待値
  - 分布と分布関数定義 3.5・確率変数と期待値
  - 単関数の期待値の well-defined 性✓補題 4.2・確率変数と期待値
  - 標準近似列✓命題 4.4・確率変数と期待値
    確率変数定義 3.1・確率変数と期待値
    単調収束定理✓定理 2.1・確率変数と期待値（上で展開済み）
  - 単調収束定理✓定理 2.1・確率変数と期待値
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値
  - 期待値定義 4.1・確率変数と期待値
  - 確率空間では L² ⊂ L¹✓命題 5.2・確率変数と期待値
積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
- $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列
    アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    整数部分の存在✓補題 5.1・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
- ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
  - ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理
    最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理
    フェルマーの補題✓補題 2.5・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 6 件

正規分布の特性関数✓補題 2.3・特性関数と Gauss ベクトル
Gauss ベクトルの構造✓定理 5.2・特性関数と Gauss ベクトル
無相関ならば独立✓命題 5.3・特性関数と Gauss ベクトル
エセーンの平滑化不等式✓補題 5.8・大数の法則と中心極限定理
跳び過程の特性関数と積率✓命題 4.7・Markov 連鎖と Poisson 過程
オルンシュタイン・ウーレンベック過程の解の表示と分布✓命題 5.5・確率微分方程式

特性関数の基本性質

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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