エセーンの平滑化不等式

補題 5.8（「大数の法則と中心極限定理」§5）・ ✓公理まで証明済み

$F$ を確率変数 $X$ の分布関数、 $\varphi$ をその特性関数、 $\Phi$ を標準正規分布の分布関数とし、 $m=1/\sqrt{2\pi}$ （標準正規密度の最大値）とおく。 $T\gt0$ について $\displaystyle\int_{-T}^{T}\frac{|\varphi(t)-e^{-t^2/2}|}{|t|}\,dt\lt\infty$ ならば

\sup_{x\in\mathbb{R}}|F(x)-\Phi(x)|\le\frac1\pi\int_{-T}^{T}\frac{|\varphi(t)-e^{-t^2/2}|}{|t|}\,dt+\frac{24m}{\pi T}.

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 121 件、定義なども含めて 146 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

反転公式✓定理 3.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換
- Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- Gauss 関数の Fourier 変換✓命題 3.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換
  - L¹ での基本性質✓命題 2.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換
    ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
    Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
    回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
    積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数（上で展開済み）
- Gauss 核による近似✓補題 3.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換
  - 平行移動の連続性✓補題 2.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換（上で展開済み）
特性関数の基本性質✓命題 2.2・特性関数と Gauss ベクトル
- 独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値
  - 確率変数の独立性定義 2.3・確率変数と期待値
  - 変数変換公式✓定理 4.5・確率変数と期待値この先をたどる →
  - 分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値
    期待値定義 4.1・確率変数と期待値
    確率空間では L² ⊂ L¹✓命題 5.2・確率変数と期待値
- 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
一意性定理と反転公式✓定理 3.3・特性関数と Gauss ベクトル
- Gauss 平滑化✓補題 3.1・特性関数と Gauss ベクトル
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
  - 正規分布の特性関数✓補題 2.3・特性関数と Gauss ベクトル（上で展開済み）
  - Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
- 有界連続関数は分布を決める✓補題 3.2・特性関数と Gauss ベクトル
  - 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
正規分布の特性関数✓補題 2.3・特性関数と Gauss ベクトル
- ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
  - 比較判定法と絶対収束✓定理 2.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
  - 置換積分✓定理 6.1・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
- 特性関数の基本性質✓命題 2.2・特性関数と Gauss ベクトル（上で展開済み）
Fourier 変換定義 2.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換
Riemann–Lebesgue の補題✓定理 2.4・ℝⁿ 上のフーリエ変換
- 平行移動の連続性✓補題 2.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換
  - $C_c$ は $L^p$ で稠密✓命題 7.2・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

ベリー・エセーンの定理✓定理 5.9・大数の法則と中心極限定理

エセーンの平滑化不等式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

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