Gauss 関数の Fourier 変換

命題 3.1（「ℝⁿ 上のフーリエ変換」§3）・ ✓公理まで証明済み

$\gamma(x)=e^{-|x|^2/2}$ の Fourier 変換は $\hat\gamma(\xi)=(2\pi)^{n/2}e^{-|\xi|^2/2}$ である。したがって $G_\varepsilon(x)=(2\pi)^{-n/2}\varepsilon^{-n}e^{-|x|^2/(2\varepsilon^2)}$ は $\int G_\varepsilon=1$ 、 $\widehat{G_\varepsilon}(\xi)=e^{-\varepsilon^2|\xi|^2/2}$ を満たし、逆に $\varphi_\varepsilon(\xi)=e^{-\varepsilon^2|\xi|^2/2}$ の Fourier 変換は $\hat\varphi_\varepsilon=(2\pi)^nG_\varepsilon$ （ $G_\varepsilon$ は偶関数）である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 61 件、定義なども含めて 75 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

L¹ での基本性質✓命題 2.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換
- ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
- Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- 回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質この先をたどる →
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
- 比較判定法と絶対収束✓定理 2.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
  - 単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
  - 広義積分のコーシーの判定法✓定理 2.2・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
- 置換積分✓定理 6.1・積分の基本定理と定積分
  - 連続関数は原始関数をもつ✓系 5.3・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
  - 連鎖律✓定理 7.2・導関数の定義と基本的な微分法この先をたどる →
  - 連続関数の可積分性と区分求積法✓定理 3.5・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
  - 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 18 件

反転公式✓定理 3.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換
Plancherel の定理✓定理 4.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換
Hermite 関数の性質✓命題 7.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換
$|x|^{-β}$ の Fourier 変換✓補題 6.1・補間と古典的不等式
有限次元の Gauss 測度✓命題 2.5・核型空間と Bochner–Minlos の定理
熱半群の積分核✓命題 5.1・1 径数ユニタリ群と強連続半群
U(1) Villain 模型の双対表示✓命題 6.1・Yang–Mills 理論と質量ギャップ II
Gauss 型フィルタの積分✓補題 4.2・Lieb–Robinson 評価とギャップ・相関の減衰
共分散の性質（原論文の (V.A.1)–(V.A.2)）✓補題 2.1・Abdesselam–Rivasseau『Trees, forests and jungles』(1994) 部 2
伝播関数の性質と尺度の和（原論文の (11)(12)）✓補題 4.2・Abdesselam–Rivasseau (1997) 部 1
熱核による表示✓補題 8.1・Abdesselam–Rivasseau (1997) 部 2
格子 Gauss 核の Fourier 変換（原論文の式 (5.30) の ≍）✓補題 5.6・Aizenman–Duminil-Copin (2021) 第 2 部
Villain 型の重みの Fourier 係数（原論文 (4.10)、(4.20)）✓補題 2.5・Brydges–Fröhlich–Seiler『On the construction of quantized gauge fields I』(1979) 第 2 部
複素 Gauss 積分✓補題 6.1・Brydges–Fröhlich–Seiler『On the construction of quantized gauge fields I』(1979) 第 2 部
可積分な正型関数の Fourier 変換は非負✓補題 10.1・Brydges–Fröhlich–Seiler『On the construction of quantized gauge fields I』(1979) 第 2 部
Gauss 測度の複素指数モーメント✓補題 10.3・Brydges–Fröhlich–Seiler『On the construction of quantized gauge fields I』(1979) 第 2 部
格子 Green 関数の漸近形✓補題 2.4・厳密くりこみ群
Schrödinger 表現と Fock 表現の同値✓補題 6.2・CCR の表現

Gauss 関数の Fourier 変換

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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