数学 › 未解決問題と大定理 › Yang–Mills 理論と質量ギャップ II

U(1) Villain 模型の双対表示

命題 6.1（「Yang–Mills 理論と質量ギャップ II」§6） ・ ✓公理まで証明済み

d≥2d\ge2、Λ⊂Zd\Lambda\subset\mathbb{Z}^d を有限集合、EE、PP を辺とプラケットの集合とし、[p:e]∈{0,±1}[p:e]\in\{0,\pm1\} をプラケット pp の境界に辺 ee が現れる符号（現れなければ 00）、(dθ)p=∑e[p:e]θe(d\theta)_p=\sum_e[p:e]\theta_e とする。整数値の関数 m ⁣:P→Zm\colon P\to\mathbb{Z} に対し (δm)e=∑p[p:e]mp(\delta m)_e=\sum_p[p:e]m_p と置く。β>0\beta\gt0 について次が成り立つ。

  1. vβ(ϕ)=12πβ∑m∈Ze−m2/(2β) eimϕ\displaystyle v_\beta(\phi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\beta}}\sum_{m\in\mathbb{Z}}e^{-m^2/(2\beta)}\,e^{im\phi}。
  2. ZV(β):=∫∏p∈Pvβ((dθ)p)∏e∈Edθe2π=(2πβ)−∣P∣/2∑m:P→Zδm=0exp⁡(−12β∑pmp2)\displaystyle Z_{\mathrm{V}}(\beta):=\int\prod_{p\in P}v_\beta\bigl((d\theta)_p\bigr)\prod_{e\in E}\frac{d\theta_e}{2\pi}=(2\pi\beta)^{-|P|/2}\sum_{\substack{m\colon P\to\mathbb{Z}\\\delta m=0}}\exp\Bigl(-\frac{1}{2\beta}\sum_pm_p^2\Bigr)。
  3. 閉路 C\mathcal{C} が辺 ee を通る符号つきの回数を jC(e)j_{\mathcal{C}}(e) とし、電荷 n∈Zn\in\mathbb{Z} の Wilson ループを Wn(C)=exp⁡(in∑ejC(e)θe)W_n(\mathcal{C})=\exp\bigl(in\sum_ej_{\mathcal{C}}(e)\theta_e\bigr) とすると ⟨Wn(C)⟩=∑m: δm=−njCexp⁡(−12β∑pmp2)∑m: δm=0exp⁡(−12β∑pmp2).\langle W_n(\mathcal{C})\rangle=\frac{\sum_{m:\,\delta m=-nj_{\mathcal{C}}}\exp\bigl(-\frac{1}{2\beta}\sum_pm_p^2\bigr)}{\sum_{m:\,\delta m=0}\exp\bigl(-\frac{1}{2\beta}\sum_pm_p^2\bigr)} .

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 109 件、定義なども含めて 129 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。