連続関数の可積分性と区分求積法

定理 3.5（「積分の基本定理と定積分」§3）・ ✓公理まで証明済み

$f : [a,b] \to \mathbb{R}$ が $[a,b]$ 上連続ならば、 $f$ は $[a,b]$ で可積分である。さらに、任意の $\varepsilon > 0$ に対して $\delta > 0$ が存在し、幅 $|\Delta| < \delta$ を満たす任意の分割 $\Delta$ と、その任意の代表点の選び方 $\boldsymbol{\xi}$ に対して

\left| R(\Delta, \boldsymbol{\xi}, f) - \int_a^b f(x)\,dx \right| < \varepsilon

が成り立つ。とくに、幅が $0$ に収束するタグ付き分割の任意の列に沿って、リーマン和は $\int_a^b f(x)\,dx$ に収束する（区分求積法）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 12 件、定義なども含めて 19 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ハイネ・カントールの定理✓定理 7.1・連続関数と一様連続性
- 一様連続性の基本性質✓命題 6.2・連続関数と一様連続性
  - 一様連続性定義 6.1・連続関数と一様連続性
  - 連続性定義 3.1・連続関数と一様連続性
- ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓補題 2.2・連続関数と一様連続性
  - 区間縮小法✓補題 2.1・連続関数と一様連続性
- 連続性の点列による特徴づけ✓命題 3.2・連続関数と一様連続性
  - 連続性定義 3.1・連続関数と一様連続性
分割とダルブー和定義 2.1・積分の基本定理と定積分
最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理
- 実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
- 最大値の原理（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・連続関数と一様連続性
  - 有界性定理✓定理 4.1・連続関数と一様連続性
    ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓補題 2.2・連続関数と一様連続性（上で展開済み）
    連続性定義 3.1・連続関数と一様連続性
  - ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓補題 2.2・連続関数と一様連続性（上で展開済み）
  - 連続性の点列による特徴づけ✓命題 3.2・連続関数と一様連続性（上で展開済み）
  - 連続性定義 3.1・連続関数と一様連続性
- 極限の四則✓定理 4.2・極限と連続性
  - 関数の極限定義 3.1・極限と連続性
  - 収束すれば局所有界✓補題 4.1・極限と連続性
    関数の極限定義 3.1・極限と連続性
リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分
- 上積分・下積分とリーマン可積分性定義 3.1・積分の基本定理と定積分
- 細分による単調性✓補題 2.3・積分の基本定理と定積分
タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分

これを使っている定理証明で参照している 5 件

積分の平均値の定理✓命題 4.3・積分の基本定理と定積分
連続関数は原始関数をもつ✓系 5.3・積分の基本定理と定積分
置換積分✓定理 6.1・積分の基本定理と定積分
部分積分✓定理 6.2・積分の基本定理と定積分
ウォリス積分の漸化式✓命題 6.4・積分の基本定理と定積分

連続関数の可積分性と区分求積法

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

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