分割とダルブー和

定義 2.1（「積分の基本定理と定積分」§2）

$a < b$ とし、 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ を有界な関数とする。有限個の点の組

\Delta : a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b

を $[a,b]$ の分割という。 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ とおき、 $|\Delta| = \max_{1 \le i \le n} \Delta x_i$ を $\Delta$ の幅という。各小区間 $I_i = [x_{i-1}, x_i]$ に対し

M_i = \sup_{x \in I_i} f(x), \qquad m_i = \inf_{x \in I_i} f(x)

とおく（ $f$ が有界だから、これらは実数として存在する）。そして

S(\Delta, f) = \sum_{i=1}^{n} M_i \, \Delta x_i, \qquad s(\Delta, f) = \sum_{i=1}^{n} m_i \, \Delta x_i

をそれぞれ $\Delta$ に関する 上ダルブー和、下ダルブー和 という。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。